Задача 13410 ...

griga

03.02.2017

Две окружности Ω и ω радиусов R=12.5 и r=4 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC:BC=1:2.

SOVA

03.02.2017

★

См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=4 .
РМ=PN=PB=12,5.
РО=РМ-ОМ=12,5-4=8,5
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 12,5

Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(12,5)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((12,5)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=4-√((12,5)^2-(1,5x)^2)
(4-√((12,5)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=8,5^2;

16-8√((12,5)^2-(1,5x)^2)+(12,5)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=8,5^2.
или
8√((12,5)^2-(1,5x)^2)=100-2x^2;
4√((12,5)^2-(1,5x)^2)=50-x^2;
Возводим в квадрат:
16((12,5)^2-(1,5x)^2)=(50-x^2)^2;
16(156,25-2,25x^2)=2500-100x^2+x^4
x^4-64x^2=0
x^2*(x^2-64)=0
x=0 - не удовлетворяет условию
x^2=64
x=-8 - не удовлетворяет условию
или
x=8
3х=3*8=24
О т в е т. АВ=24