Задача 33705 Решить систему уравнений х^2/y + y^2/x...

ladykaramel

19 февраля 2019 г. в 10:06

Решить систему уравнений

х²/y + y²/x = 12
1/x + 1/y = 1/3

sova

19 февраля 2019 г. в 11:54

x ≠ 0; y ≠ 0

Умножим первое уравнение на второе
(x²/y + y²/x)·(1/x+1/y)=4;

(x/y) + (y²/x²) + (x²/y²) + (y/x) = 4;

Замена
x/y + y/x = t
Возводим в квадрат
x²/y² + 2·(x/y)·(y/x) + y²/x²= t²

x²/y² + 2 + y²/x² = t² ⇒

x²/y² + y²/x² = t² – 2

t + (t² – 2) = 4

t²+t–6=0

D=1+24=25
t=2 или t=–3

Обратные переходы:
(1) (x/y)+(y/x)=2 ⇒ (x/y)² – 2(x/y) + 1 = 0 ⇒ ( x/y – 1)²=0 ⇒ x/y =1

Подставляем y=x во второе уравнение системы:
2/x=1/3
x₁=6
y₁=6

ИЛИ
(2)
(x/y) + (y/x) = – 3 ⇒ (x/y)²+3(x/y)+1=0 D=9–4=5; уравнение имеет два корня:

x/y=(– 3 +√5)/2 ⇒ y=–2x/(3–√5) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3+√5)/(–2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)·(1 – (3+√5)/2)=1/3

x₂=(3/2)·(–1–√5;
y₂= (3+3√5)/(3+√5;


x/y=(– 3 +√5)/2 ⇒ y=–2x/(3+√5) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3–√5)/(–2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)·(1 – (3–√5)/2)=1/3

x₃=(3/2)·(–1+√5);
y₃= (3–3√5)/(3+√5).

О т в е т.
(6;6);
((3/2)·(–1–√5);(3+3√5)/(3+√5);
((3/2)·(–1+√5); (3–3√5)/(3+√5).