Задача 41867 ...

sanek26tim

2019-11-24 21:02:07

1) Найти область определения 2)проверить четность -нечетность функции 3)найти точки пересечения с осями координат 4)найти экстремумы и интервалы монотонности 5)найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости 6)найти пределы функции при х → +- ∞ 7)построить график функции y=6x²-3x⁴+1

sova

2019-11-25 11:08:42

1) D(y)=(–∞;+ ∞)


2) Функция является четной:
так как
у(-х)=6*(-х)^2-3(-x)^4+1=6x^2-3x^4+1
и
y(-x)=y(x)

3)Точки пересечения с осью Ох: y=0

Решаем уравнение:

6x^2-3x^4+1=0

3x^4-6x^2-1=0 - биквадратное уравнение

D=(-6)^2+4*3=36+12=48

x^2=[m]\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}[/m]

sqrt(48)=sqrt(16*3)=4sqrt(3)

x^2=1 ± (2sqrt(3)/3)

x^2=1+(2sqrt(3)/3) или x^2=1-(2sqrt(3)/3) ( уравнение не имеет корней, 1-(2sqrt(3)/3 < 0)

x^2=1+(2sqrt(3)/3) ⇒ x= ± sqrt(1+(2sqrt(3)/3))
Точки пересечения с осью Ох.
( -sqrt(1+(2sqrt(3)/3));0); (sqrt(1+(2sqrt(3)/3));0)


При х=0 у=1
(0;1) - точка пересечения с осью Оу.

4)
Исследование функции с помощью [i]первой[/i] производной:

y`=6*(2x)-3*(4x^3);

y`=0

12x-12x^3=0
12x*(1-x^2)=0

x=0 или 1-x^2=0 ⇒х=±1

Знак производной
_+__ (-1) ___-___ (0) __+__ (1 ) __-__


x=0 –минимума, производная меняет знак с - на +

x=-1 и х=1 - точки максимума, производная меняет знак с + на -

y(1)=y(-1)=6*1-3*1+1=4

(0;1) - точка минимума
(-1;4) и (1;4)- точки максимума


y`>0 при x∈ (-бесконечность;-1) и x∈ (0;1)
Функция [i]возрастает [/i]при x∈ (-бесконечность;-1) и x∈ (0;1)

y`<0 при x∈ (-1;0) и (1;+бесконечность)
Функция [i] убывает[/i] при x∈ (-1;0) и (1;+бесконечность)


5)

y``=(12x-12x^3)`=12-12*(3x^2)
y``=0
12-36x^2=0

x= ± sqrt(1/3) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (- бесконечность ;-sqrt(1/3)) и на (sqrt(1/3);+ бесконечность )
выпукла вниз на (-sqrt(1/3);sqrt(1/3))

6)
lim_(x→ +бесконечность)f(x)=-бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=-бесконечность.