Задача 37478 Решить: xy'-y = (lnx)/x, y(1) = 0...

vk312718532

22 мая 2019 г. в 21:45

Решить: xy'–y = (lnx)/x, y(1) = 0

sova

22 мая 2019 г. в 23:04

Разделим на х
y`–(1/x)·y=lnx/(x²)

Линейное, первого порядка

Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух произвольных функций.

y=u·v
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:

u`·v+u·v`–(1/x)·u·v=lnx/(x²)

u`·v+u·(v`–(1/x)·v)=lnx/(x²)


Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

v`–(1/x)·v=0

тогда

u`·v–u·0=lnx/(x²)


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`–(1/x)·v=0

dv/v=dx/x

ln|v|=ln|x|

v=x

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`·x=lnx/(x²)

u`=lnx/(x³)

u= ∫ lnxdx/(x³)=–lnx/(–2x²)+(1/2) ∫ dx/x³=

=–lnx/(–2x²)–(1/(4x²))+C

cчитали по частям

u=lnx; du=dx/x

dv=dx/x³
v=–1/(2x²)

Общее решение: y=(–lnx/(–2x²)–(1/(4x²))+C)·х можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=0
найдем частное решение:

0=–ln1/(–2)–(1/4)+C
C=1/4

y=(–lnx/(–2x²)–(1/(4x²))+(1/4))·х– частное решение