Задача 37478 Решить: xy'-y = (lnx)/x, y(1) = 0...
Условие
Все решения
y`-(1/x)*y=lnx/(x^2)
Линейное, первого порядка
Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.
В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.
Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=lnx/(x^2)
u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=lnx/(x^2)
Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы
[b]v`-(1/x)*v=0[/b]
тогда
[b]u`*v-u*0=lnx/(x^2)[/b]
Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`-(1/x)*v=0
dv/v=dx/x
ln|v|=ln|x|
[b]v=x[/b]
Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
u`*x=lnx/(x^2)
u`=lnx/(x^3)
u= ∫ lnxdx/(x^3)=-lnx/(-2x^2)+(1/2) ∫ dx/x^3=
=-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C
cчитали по частям
u=lnx; du=dx/x
dv=dx/x^3
v=-1/(2x^2)
Общее решение: y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C)*х можно раскрыть скобки.
Так как
y(1)=0
найдем частное решение:
0=-ln1/(-2)-(1/4)+C
C=1/4
y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+(1/4))*х- частное решение