k^2-3k-4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=25
k_(1)=-1; k_(2)=4- корни действительные кратные
Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x)
y(0)=1
1=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) ⇒[b] 1=С_(1)+C_(2) [/b]
Находим производную общего решеня:
y`=(С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x))` ⇒ y`=С_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`
y`=(-1)*С_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)
y`(0)=-2
-2=-С_(1)*e^(0)+4*C_(2)*e^(0) ⇒[b] -2=-С_(1)+4*C_(2) [/b]
Из системы:
{1=С_(1)+C_(2)
{-2=-С_(1)+4*C_(2)
Cкладываем
-1=5С_(2)
С_(2)=-0,2
С_(1)=1- С_(2)=1-(-0,2)=1,2
и подставляем в найденное общее решение.
Получаем ответ
y=1,2*e^(-x)-0,2*e^(4x)