Задача 43357 Плотность распределения случайной...
Условие
Решение
По свойству плотности вероятности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx=[b]1[/b]
Считаем интеграл от данной функции.
Так как функция задана тремя выражениями рассматриваем интеграл как сумму интегралов:
∫^(+ ∞)_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx=
=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(a)_(1)(x-0,5)dx+∫^(+ ∞)_(a)[b]0[/b]dx =
=0 + ( (x^2/2)-0,5x)|^(a)_(1)+0=
=(a^2/2)-0,5a-((1/2-(1/2))=a^2/2-0,5a
a^2/2-0,5a=[b]1[/b] ⇒ a^2-a-2=0 ⇒ a=2 или a=-1 ( не удовл условию задачи)
2)
По определению:
F_(ξ)(x)=∫ ^(x )_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx
Так как функция задана тремя выражениями, то
при x ≤ 1
F_(ξ)(x)=∫^(x)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx=0
при 1 < x ≤ 2
F_(ξ)(x)=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(x)_(1 )(x-0,5)dx=
=(x^2/2)|^(x)_(1)-(0,5x)|^(x)_(1)=
=(x^2/2)-0,5x
при x >2
F_(ξ)(x)=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(2)_(1 )(x-0,5)dx+∫ ^(+ ∞ )_(2 )[b]0[/b]dx
=1
3)
P(-1 < ξ <2)=F(2)-F(-1)=(2^2/2)-0,5*2-0=2-1-0=1