Задача 38104 Избавиться от алгебраической...

vk247742080

2019-06-12 14:57:03

Избавиться от алгебраической иррациональности в знаменателе
(a^2 - 3a +1)/(a^2 + 2a +1) где a корень уравнения x^3 + x^2 + 3x +4 = 0

sova

2019-06-12 16:46:50

★

f(x)=x^2+2x+1
g(x)=x^3+x^2+3x+4

Делим
g(x) на f(x) "углом"

x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5)

Делим

x^2+2x+1 на (4х+5) "углом"

x^2+2x+1=(x+(5/4)*(x+(3/4) + (1/16)

Умножаем на 16

16x^2+32x+16=(4x+5)(4x+3) [b]+ 1[/b]

Последний ненулевой остаток равен 1

Значит можно представить так:

1=16*f(x)-(4x+5)(4x+3)

Но из равенства (x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5) или f(x)=g(x)*(x-1)+4x+5)

легко выразить

[b]4х+5=g(x)-f(x)*(x-1)[/b], тогда


1=16*f(x)-(4x+3)*g(x)+(4x+3)*(x-1)*f(x)

1=-(4x+3)* [b]g(x[/b])+(4x^2-x+13) [b]*f(x)[/b]

Так как
g(a)=0, то

1=(4a^2-a+13)*(a^2+2a+1)

1/(a^2+2a+1)=4a^2-a+13

Значит

[b](a^2-3a+1)/(a^2+2a+1)=(4a^2-a+13)*(a^2-3a+1)[/b]