Задача 43561 Найти общее решение дифференциальных...

vk190911177

2020-01-21 16:28:21

Найти общее решение дифференциальных уравнений
1)y''+36y=xe^(x);

Помогите пожалуйста решить

sova

2020-01-21 20:44:40

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+36y=0

Составляем характеристическое уравнение:
λ^2+36=0


λ _(1,2)= ± 6i

– корни комплексные

α=0 β=6

Общее решение однородного имеет вид:

y_(одн.)=e^(αx)*(С_(1)*cosβх+C_(2)*sinβx)

В данном случае

y_(одн.)=e^(0)*(С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x)

y_(одн.)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x




частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=(ax+b)*e^(x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=a*e^(x)+(ax+b)*e^(x)=e^(x)*(ax+a+b)

y``_(част)=e^(x)*(ax+a+b)+e^(x)*(a)=e^(x)*(ax+2a+b)


подставляем в данное уравнение:

e^(x)*(ax+2a+b)+36*(ax+b)*e^(x) = x e^(x)

сокращаем на e^(x)
ax+2a+b+ax+b=x

2a=1 ⇒ a=1/2

2a+2b=0 ⇒ a=-b ⇒ b=-a=-1/2

y_(част)=((1/2)x-(1/2))*e^(x)

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x+((1/2)x-(1/2))*e^(x)