Задача 37042 ...
Условие
Решение
asinx+bcosx=c
Применяем метод введения вспомогательного угла.
Для этого делим уравнение на sqrt(a^2+b^2)
a/sqrt(a^2+b^2)* sinx + b/sqrt(a^2+b^2)*cosx=c/sqrt(a^2+b^2)
Вводим вспомогательный угол φ
a/sqrt(a^2+b^2=sin φ
b/sqrt(a^2+b^2)=cos φ
Уравнение примет вид
[b]sin φ* sinx +cos φ *cosx=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]
По формуле косинуса разности
cos φ *cosx+sin φ* sinx =cos(x- φ )
[b]cos(x- φ )=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]
Уравнение имеет решение, если число справа не превышает по модулю 1
В данной задаче
a=2
b=sqrt(60)
a^2+b^2=2^2+60=64
sqrt(a^2+b^2)=8
Уравнение имеет вид:
(2/8)sin3x+sqrt(60)/8 = a/8
cos(3x-φ )=a/8
При
|a/8| ≤ 1 ⇒ -8 ≤ a ≤ 8
уравнение имеет решения
О т в е т. [-8;8]