Задача 39263 ...

slava191

2019-09-08 13:31:33

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

sova

2019-09-10 14:21:59

★

SA=SB=SC=4, AB=AC=BC=6
SO–высота пирамиды
СE медиана и высота равностороннего треугольника АВС

СE=6sqrt(3)/2=3sqrt(3)

O–центр треугольника Δ АВС,
О–точка пересечения медиан ( Δ АВС–правильный).

СО=(2/3)·СE=(2/3)·3√3= 2√3,

EО=(1/3)·СE=(1/3)·3√3= √3

Из треугольника SOC:
SO^2=SC^2-CO^2=4^2-(2√3)^2=16-12=4
[b]SO=2[/b]


а)
В равнобедренном (SA=SB) треугольнике АSB:
MN–средняя линия треугольника Δ ASB,
MN||AB и MN=AB/2=3

SE ⊥ AB
SE- высота и медиана равнобедренного Δ ASB (SA=SB)
SK=KE

В треугольнике SEO:

SO ⊥ CO
KL || SO
КL- средняя линия Δ SEO
KL=[blue]SO/2[/blue]

LE=LO
OC=2EO=4LE
CL=CO+OL=4LE+LE=5LE
[b]CL:LE=5:1[/b]



б)
MNQP– сечение пирамиды плоскостью α.
MNQP-равнобедренная трапеция

Из подобия Δ ABC и Δ CPQ
PQ:AB=CL:CE=5:6
PQ=(5/6)AB=[b]5[/b]

KL=[blue]SO/2=1[/blue]
Проводим высоты из вершин M и N на PQ
Получаем два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник
По теореме Пифагора

MP=NQ=sqrt(2)

Р_(MNQP)=MN+NQ+PQ+MP=3+5+2sqrt(2)=[b]8+2sqrt(2)[/b]

О т в е т. 8+2sqrt(2)