Задача 41246 ...
Условие
Указания к решению задач 81–100. Доверительным называются такой интервал, который с заданной надежностью у покрывает оцениваемый параметр.
Для оценки математического ожидания а нормально распределенной случайной величины по выборочной средней x̄ при известном σ служит доверительный интервал
[x̄ – tγ √σ/n; x̄ + tγ√σ/n]
где t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (см. приложение 1), при котором Φ(t) = 1/2 γ.
Под математическим ожиданием результатов измерений обычно понимают истинное значение измеряемой величины. Поэтому, если, например, в результате 25 измерений среднее арифметическое результатов измерений х оказалось равным 42,5 м, то для получения доверительного интервала, покрывающего истинное значение измеряемой величины с надежностью γ = 0,95, остается указать лишь σ, характеризующую точность используемых при измерении приборов.
Пусть σ = 6,1. Тогда по таблицам функции Лапласа находим t
Φ(t) = 1/2γ = 0,95 = 0,475.
Получаем t = 1,96. Отсюда доверительный интервал имеет вид
42,5 – 1,96 x 6,1/5 < а < 42,5 + 1,96 x 6,1/5
или 41,7 < а < 43,3.
Решение
[m]\frac{1}{2}\gamma = \frac{1}{2}\cdot 0,90=0,45[/m]
Ф(t)=0,45 ⇒ t=1,645 ( cм. таблицу в приложении)
Поэтому доверительный интервал:
[m]68,1-\frac{1,645\cdot 5,1}{\sqrt{17}}< \alpha < 68,1+\frac{1,645\cdot 5,1}{\sqrt{17}}[/m]
[m]68,1-\frac{8,3895}{4,123}< \alpha < 68,1+\frac{8,3895\cdot 5,1}{4,123}[/m]
