Задача 29462 6.10)...

slava191

2018-09-05 22:53:35

6.10) log(1/2)(-x-1)+log(1/2)(1-x)-log(1/sqrt(2))(7+x) = 1

sova

2018-09-06 07:47:19

★

ОДЗ:
{-x-1>0 ⇒ x < -1;
{1-x>0 ⇒ x < 1
{7+x > 0 ⇒ x > -7
х ∈ (-7;-1)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(1/sqrt(2))(7+x)=log_(1/2)(7+x)/log_(1/2)(1/sqrt(2))=log_(1/2)(7+x)/(1/2)=2log_(1/2)(7+x).
По свойству логарифма степени:
2log_(1/2)(7+x)=log_(1/2)(7+x)^2.
Так как
1=log_(1/2)(1/2)
Уравнение принимает вид:
log_(1/2)(–x–1)+log_(1/2)(1–x)–log_(1/2)(7+x)^(2) = log_(1/2)(1/2);
перепишем:
log_(1/2)(–x–1)+log_(1/2)(1–x)=log_(1/2)(7+x)^(2) + log_(1/2)(1/2).
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(1/2)(-x-1)*(1-x)=log_(1/2)(1/2)*(7+x)^2;
Логарифмическая функция монотонна: каждое свое значение принимает в единственной точке. Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:
(-x-1)*(1-x)=(1/2)*(7+x)^2;
x^2-1=(1/2)(49+14x+x^2);
2x^2-2=49+14x+x^2;
x^2-14x-51=0
D=196+4*51=400=20^2
x_(1)=(14-20)/2=-3 или х_(2)=(14+20)/2=17
х_(2) не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. -3