Задача 29462 6.10)...

slava191

5 сентября 2018 г. в 22:53

6.10) log_1/2(–x–1)+log_1/2(1–x)–log_1/√2(7+x) = 1

sova

6 сентября 2018 г. в 07:47

★

ОДЗ:
{–x–1>0 ⇒ x < –1;
{1–x>0 ⇒ x < 1
{7+x > 0 ⇒ x > –7
х ∈ (–7;–1)

По формуле перехода к другому основанию:
log_1/√2(7+x)=log_1/2(7+x)/log_1/2(1/√2)=log_1/2(7+x)/(1/2)=2log_1/2(7+x).
По свойству логарифма степени:
2log_1/2(7+x)=log_1/2(7+x)².
Так как
1=log_1/2(1/2)
Уравнение принимает вид:
log_1/2(–x–1)+log_1/2(1–x)–log_1/2(7+x)² = log_1/2(1/2);
перепишем:
log_1/2(–x–1)+log_1/2(1–x)=log_1/2(7+x)² + log_1/2(1/2).
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_1/2(–x–1)·(1–x)=log_1/2(1/2)·(7+x)²;
Логарифмическая функция монотонна: каждое свое значение принимает в единственной точке. Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:
(–x–1)·(1–x)=(1/2)·(7+x)²;
x²–1=(1/2)(49+14x+x²);
2x²–2=49+14x+x²;
x²–14x–51=0
D=196+4·51=400=20²
x₁=(14–20)/2=–3 или х₂=(14+20)/2=17
х₂ не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. –3