Задача 20491 ...

slava191

12 июня 2017 г. в 00:00

Сфера касается рёбер BS, CS, CA, AB пирамиды SABC в точках K, L, M, N соответственно.

а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите KM, если KL = 8, LM = 8, MN = 6, NK = 4.

SOVA

12 июня 2017 г. в 00:00

★

По свойству касательных, проведенных из одной точки:
AN=AM;BK=BN;CM=CL;SK=SL
Обозначим
AN=AM=a
BK=BN=b
CM=CL=c
SK=SL=d
(cм. рис.1)
а)
Пусть b=c.
Тогда MN|| BC и KL|| BC, значит MN|| KL и четыре точки K, L,M,N лежат в одной точке.
пусть b < c
Тогда на СМ есть точка М₁ такая, что ММ₁=b
и на СL есть точка L₁ такая, что LL₁=b

AM₁=AB MN || M₁B
SL₁=SB LK || L₁B
( cм. рис.2)
Значит, прямые MN и LK пересекаются с ВС в точках P и Q
на продолжении ВС за точку В.

Рассматриваем подобные треугольники
ΔCBM₁ подобен треугольнику СРМ
СМ₁:СМ=СВ:СР
СР=(b/(c–b))CB
ΔCBL₁ подобен треугольнику СQL
СL₁:СL=СВ:СQ
СQ=(b/(c–b))CB

CQ=CP ⇒ точки Р и Q слвпадают.
Значит MN и KL пересекаются в точке P=Q и тем самым доказано, что четыре точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Аналогично и в случае b > c.

б)
Четырехугольник KLMN вписан в окружность, значит сумма противоположных углов равна 180 °.
Обозначим
∠MLK=α
тогда
∠MNK=π–α
По теореме косинусов
KM²=8²+8²–2·8·8cosα
KM²=6²+4²–2·6·4cos(π–α)

KM²=8²+8²–2·8·8cosα
KM²=6²+4²+2·6·4cosα
Вычитаем из первого равенства второе
0=76–176cosα
cosα=19/44

KM²=8²+8²–2·8·8·(19/44)
KM²=8²+8²–2·8·8·(19/44)
KM=20√2/11
О т в е т. б) 20√2/11=20√22/11