Задача 46397 Найдите все значения параметра a, при...

vk148293911

2020-04-08 14:29:48

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

[m]\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2 \\ xy=a^2-3a \end{matrix}\right.[/m]

sova

2020-04-08 16:12:55

Если пара (x_(o);y_(o)) является решением системы, то и пары (-x_(o);-y_(o)) ;

(y_(o); x_(o)) ; (-y_(o);- x_(o)) также являются решением системы

При a=0

x=0; y=0
решение системы.

ОДНО РЕШЕНИЕ

При a ≠ 0
система имеет два решения, если пары
(x_(o);y_(o)) и (у_(o);х_(o)) совпадают
и
(x_(o);y_(o)) и (-у_(o);-х_(o)) совпадают

Т.е
x_(o)=y_(o) или x_(o)=-y_(o)

{x^2_(o)+x^2_(o)=a^2
{x_(o)*x_(o)=a^2-3a

a^2=2*(a^2-3a)
a^2=2a^2-6a
a^2-6a=0

a=0; [red]a=6[/red]

или
{x^2_(o)+(-x_(o))^2=a^2
{x_(o)*(-x_(o))=a^2-3a

6a-a^2=a^2
6a-2a^2=0
a=0; [green]a=3[/green]

При a=3 в силу симметрии получаем четыре решения

см. рис.


О т в е т. [b] 6[/b]