Задача 8661 Дано уравнение cos2x-2sin2x=2 А) Решите...

slava191

25.04.2016

Дано уравнение cos2x-2sin2x=2
А) Решите уравнение.
Б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3Pi/2;2Pi]

SOVA

25.04.2016

★

По формуле:
1=сos²x+sin²x; 2=2•сos²x+2•sin²x.
По формуле двойного аргумента
cos2x=сos²x-sin²x;
sin2x=2•sinx•cosx.
Уравнение принимает вид:
сos²x-sin²x-4•sinx•cosx=2•сos²x+2•sin²x
или
3•sin²x+4•sinx•cosx+1=0 - это однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cos²x≠0.
3•tg²x+4•tgx+1=0.
D=4²-4•3•1=4
tgx=-1 или tgx =-1/3
x=(-π/4)+πk, k∈Z или x=аrctg(-1/3)+πn, n∈Z.

О т в е т.
А)x=(-π/4)+πk, k∈Z или x=аrctg(-1/3)+πn, n∈Z.
О т в е т.
Б) Указанному промежутку принадлежат корни:
-5π/4; -π/4; 3π/4; 7π/4;

arctg(-1/3)-π; arctg (-1/3);arctg (-1/3)+π;arctg (-1/3)+2π;