Задача 49482 Найти стационарные точки и исследовать...

12228

2020-05-06 17:27:32

Найти стационарные точки и исследовать на экстремум данные функции:

sova

2020-05-06 18:59:54

★

f(x)=12x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3

f`_(x)=12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3
f`_(y)=12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2

{f`_(x)=0
{f`_(y)=0

{12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3=0 ⇒ 36-4x-3y=0;x=0;y=0
{12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2=0 ⇒ 24-2x-3y=0

{36-4x-3y=0
{ 24-2x-3y=0

x=6
y=4

Исследуем эту точку на экстремум.
Находим вторые частные производные

f ``_(xx)=72xy^2-12x^2y^2-6xy^3
f ``_(xy)=72x^2y-8x^3y-9x^2y^2
f ``_(yy)=24x^3-2x^4-6x^3y

Находим вторые частные производные в точке
A=f ``_(xx)(6;4)
B=f ``_(xy)(6;4)
C=f ``_(yy)(6;4)

Δ=AC-B^2

Если Δ>0 есть экстремум в точке
A>0- минимум
А<0 - максимум