Задача 29981 Положительные числа a и b таковы, что...

slava191

2018-10-06 14:06:13

Положительные числа a и b таковы, что числа (a^2+b^2)/(a+b), (a^3+b^3)/(a^2+b^2) и (a^4+b^4)/(a^3+b^3) образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Известно, что a+b=10. Найдите наибольшее возможное значение выражения a^2+b^2. [ФТ2]

sova

2018-10-06 14:45:30

Основное свойство арифметической прогресcии
a_(n+1)-a_(n)=a_(n)-a_(n-1)

Поэтому:

(a^4+b^4)/(a^3+b^3) - (a^3+b^3)/(a^2+b^2) = (a^3+b^3)/(a^2+b^2) - (a^2+b^2)/(a+b)

(a^4+b^4)/(a^3+b^3) + (a^2+b^2)/(a+b) =2*(a^3+b^3)/(a^2+b^2) [b](#)[/b]

По условию
a+b =10
Обозначим
ab=x

[b]a и b - положительные числа по условию, значит x > 0[/b]

Выразим
a^2+b^2; a^3+b^3; a^4+b^4 через х

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100-2x;
a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(100-2x)^2-2x^2=10000 - 400x+2x^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=10*(100-2x-x)=10*(100-3x)

Подставим в равенство (#)

16x^3 -800x^2 + 10000x=0

16x*(x^2-50x+625)=0

16x*(x-25)^2=0
Так как x >0, то равенство возможно лишь
при х-25=0

Значит, х=25

a^2+b^2=100-2x=100 -2*25=50

О т в е т. 50