Задача 45989 d^2u/dx^2+d^2u/dy^2+d^2u/dz^2=0,u=1/sqrt(x^2+y^2+z^2) ...

vk237835223

4 апреля 2020 г. в 19:29

d²u/dx²+d²u/dy²+d²u/dz²=0,u=1/√x²+y²+z²
Данное уравнение данной функции u должно быть выполнено.

sova

4 апреля 2020 г. в 19:45

★

∂ u/ ∂ x=[m](\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})`_{x}=[/m]
[m]=(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2})`_{x}}=[/m]
[m]=-\frac{1}{2}\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2+y^2+z^2)`_{x}=-x\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}[/m]

∂ u/ ∂ y=[m](\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})`_{y}=[/m]
[m]=(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2})`_{y}}=[/m]
[m]=-\frac{1}{2}\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2+y^2+z^2)`_{y}=-y\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}[/m]


∂ u/ ∂z=[m](\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})`_{z}=[/m]
[m]=(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2})`_{z}}=[/m]
[m]=-\frac{1}{2}\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2+y^2+z^2)`_{z}=-z \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}[/m]



∂² u/ ∂ x²=[m](-x\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}})`_{x}=[/m]

[m]=-(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} x\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}\cdot (2x)[/m]

∂² u/ ∂ y²=[m](-y\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}})`_{y}[/m]

[m]=-(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} y\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}\cdot (2y)[/m]


∂² u/ ∂ z²=[m](-z\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}})`_{z}[/m]

[m]=-(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} z\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}\cdot (2z)[/m]




∂² u/ ∂ x²+ ∂² u/ ∂ y²+ ∂² u/ ∂ x²=

[m]=-3(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}+3\cdot (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}=0[/m]– верно