АВСD- квадрат.
Пусть АВ=BC=CD=AD=a
По условию
AQ:QB=1:2
AQ=a/3
QB=2a/3
Проведем ОМ || AB
OM - средняя линия треугольника АВD
OM=a/2
T- точка пересечения OM и DQ
OT - средняя линия треугольника QBD
OT=QB/2=(2a/3)/2=a/3
Значит
AQ=OT
Пусть К - точка пересечения АО и QD.
Треугольники AQK и KOT - равны по стороне AQ=QT и двум прилежащим к ней углам
∠ KAQ= ∠ KOT=45 градусов
∠KQA= ∠KTO - внутренние накрест лежащие при параллельных AB и MO и секущей DQ.
Значит AK=KO
В треугольнике ASO
AP=PS
AK=KO
Значит PK - средняя линия ASO
PK|| SO
SO ⊥ пл ABCD ⇒ PK ⊥ пл. АВСD ⇒ DPQ ⊥ пл.ABCD
PK=SO/2
б)
S(сеч. DSB)=(1/2)DB*SO/2
DB=asqrt(2) - диагональ квадрата АВСD
По условию
S( сеч. DSB)=6
(1/2)DB*SO/2=6
DB*SO=24
[b] a*sqrt(2)*SO=24 [/b] ⇒ [b] a*SO[/b] =24/sqrt(2)=[b]12sqrt(2)[/b]
S(сеч DPQ)=(1/2)*DQ*PK=(1/2)DQ*(SO/2)=(1/4)DQ*SO
Из треугольника ADQ
DQ=sqrt(AQ^2+AD^2)=sqrt((a/3)^2+a^2)=(a/3)*sqrt(10)
⇒ S(сеч DPQ)=(1/4)DQ*SO=(1/4)*(a/3)*sqrt(10)*SO=
=(sqrt(10)/12)*[b](a*SO)[/b]=(sqrt(10)/12)*[b]12 sqrt(2)[/b]=sqrt(20)=2sqrt(5)
О т в е т. S(сеч DPQ)=2sqrt(5)
а)
АК=15, KB=3 ⇒ AB=18
AM ⊥ BC
Проводим КT || BC и PF ||SM
Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой, такие плоскости параллельны.
Δ АКT подобен Δ АВС ( KT|| BC)
АP:AM=AK:AB=15:18
AK=5AM/6
PM=AM/6
В равностороннем треугольнике, точка О - центр треугольника
АО:ОМ=2:1 ⇒ OМ=AM/3
Значит в треугольнике SOM:
OP=PM=AM/6
PF - средняя линия Δ SOM
и делит сторону SO пополам
б) ?