Задача 16954 31) (13-5*3^x)/(9^x-12*3^x+27) > =...
Условие
32) 2/(7^x-7) > = 5/(7^x-4)
33) 2^x/(2^x-3) + (2^x+1)/(2^x-2) + 5/(4^x-5*2^x+6) < = 0
34) 3/(2^(2-x^2)-1)^2 - 4/(2^(2-x^2)-1) + 1 > = 0
Решение
Замена переменной
3^x=t;
t > 0
(13-5t)/(t^2-12t+27) больше или равно 0,5;
(26-10t-t^2+12t-27)/(2*(t-3)(t-9)) больше или равно 0;
(t-1)^2/(2*(t-3)(t-9)) меньше или равно 0.
Метод интервалов
____+_ [1] _+_ (3) ______-______ (9) __+__
t=1 или 3 < t < 9
Обратная замена
3^x=1 или 3 < 3^x < 9
x=0 или 1 < x < 2
О т в е т. {0} U(1;2)
32.
Замена переменной
7^x=t
t > 0
2/(t-7) больше или равно 5/(t-4);
3*(t-9)/((t-7)(t-4)) меньше или равно 0
_-__ (4) _____+____ (7) __-__ [9] __+___
t < 4 или 7 < t меньше или равно 9
7^x < 4 или 7 < 7^x меньше или равно 9
x < log_(7)4 или 1 < x меньше или равно log_(7)9
О т в е т. (- бесконечность; log_(7)4) U(1; log_(7) 9]
33.
Замена переменной
2^x=t;
t > 0
(t/(t-3))+((t+1)/(t-2))+(5/(t^2-5t+6)) меньше или равно 0;
2(t-1)^2/(t-3)(t-2) меньше или равно 0
__-__ [1] __+__ (2) __-__ (3) __+__
t меньше или равно 1 или 2 < t < 3
2^x меньше или равно 1 или 2 < 2^x < 3
x меньше или равно 0 или 1 < x < log_(2) 3
О т в е т. (- бесконечность;0] U (1; log_(2) 3)
34.
2^(2-x^2)=t, t > 0
(3/(t-1)^2) - (4/(t-1)) + 1 больше или равно 0;
(t-2)(t-4)/(t-1)^2 больше или равно 0.
_+__ (1) _+__ [2] ____-____ [4] ___+____
t ≠ 1; t меньше или равно 2 или t больше или равно 4
2^(2-x^2) ≠ 1 ⇒ 2-x^2 ≠ 0 x ≠ ± sqrt(2)
2^(2-x^2) меньше или равно 2 ⇒ 2-x^2 меньше или равно 1 ⇒ x^2 больше или равно 1 ⇒ (-бесконечность; -1) U (1;+ бесконечность)
С учетом x ≠ ± sqrt(2)
(-бесконечность; -sqrt(2))U(-sqrt(2);-1) U (1;sqrt(2))U(sqrt(2);+ бесконечность)
или
2^(2-x^2) больше или равно 4 ⇒ 2- x^2 больше или равно 2 ⇒ -x^2 больше или равно 0 ⇒ х=0
О т в е т. (-бесконечность; -sqrt(2))U(-sqrt(2);-1) U {0}U (1;sqrt(2))U(sqrt(2);+ бесконечность)