Задача 50143 ...
Условие
1. Натуральные числа a и b таковы, что каждое из чисел a + 12 и b - 11 кратно 23. Докажите, что число a - b также кратно 23.
2. Известно, что число n при делении на 9 даёт остаток 4. Какой остаток при делении на 9 даёт число 5n?
3. Вместо звёздочки подставьте такую цифру, чтобы число 83 1*4 делилось нацело на 36.
4. Решите в натуральных числах уравнение x² - 3y = 29.
5. Какой остаток при делении на 6 даёт число 5^(35)?
6. Найдите все натуральные значения m, при которых значение выражения 18^(n) - 11 является простым числом.
7. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения 5 * 7^(2n+1) + 13 * 25^n кратно 24.
8. Чем может быть равным НОД (a; b), если a = 10n + 5, b = 15n + 9?
Решение
a+12=23k- кратно 23
b-11=23m- кратно 23
(a+12)-(b-11)=23k-23m=23*(k-m) - кратно 23
2.
n=9k+4 - так можно записать числа, дающие при делении на 9 остаток 4
5n=5*(9k+4)=5*9k+5*4=5*9k+18 + 2 =9*(5k+2) + 2 = 9*m+2 - -
так записывают числа, дающие при делении остаток 2.
О т в е т. 2
3.
Число делится на 36, значит оно делится на 4 и на 9
На 4 оно делится если две последние цифры делятся на 4
Значит, вместо *
0;2; 3;4;6;8;
Кроме того, число должно делиться на 9, значит сумма цифр должна
делиться на 9
8+3+1+(#)+4=16+(#)
Значит, (#) может быть 2
16+2=18
О т в е т. 83 124
4.
x^2-3y=29 ⇒ x^2-29=3y
Cправа 3y - кратно 3,
значит и x^2-29 должно быть кратно 3
x^2>29
x=6
36-29=7 не кратно 3
x=7
49-29 =10 не кратно 3
х=8
64-29=35 не кратно 3
...
перебирайте...
5.
5^2=25
25:6=4 ( ост 1)
5^3=125
125:6=2 ( ост 5)
...
находим закономерность...
6.
18^(n)-1=p; p- простое ⇒ 18^(n)=p+1
18^(1)=18; ⇒ p=17
других нет. Формула (a^(n)-b^(n))=(a-b)*(a^(n-1)+...+b^(n-1))