Задача 50143 ...

milaev777

14 мая 2020 г. в 11:18

Основы теории делимости
1. Натуральные числа a и b таковы, что каждое из чисел a + 12 и b – 11 кратно 23. Докажите, что число a – b также кратно 23.
2. Известно, что число n при делении на 9 даёт остаток 4. Какой остаток при делении на 9 даёт число 5n?
3. Вместо звёздочки подставьте такую цифру, чтобы число 83 1·4 делилось нацело на 36.
4. Решите в натуральных числах уравнение x² – 3y = 29.
5. Какой остаток при делении на 6 даёт число 5³⁵?
6. Найдите все натуральные значения m, при которых значение выражения 18ⁿ – 11 является простым числом.
7. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения 5 · 7²ⁿ⁺¹ + 13 · 25^n кратно 24.
8. Чем может быть равным НОД (a; b), если a = 10n + 5, b = 15n + 9?

sova

14 мая 2020 г. в 13:03

★

1.
a+12=23k– кратно 23
b–11=23m– кратно 23

(a+12)–(b–11)=23k–23m=23·(k–m) – кратно 23

2.
n=9k+4 – так можно записать числа, дающие при делении на 9 остаток 4

5n=5·(9k+4)=5·9k+5·4=5·9k+18 + 2 =9·(5k+2) + 2 = 9·m+2 – –

так записывают числа, дающие при делении остаток 2.

О т в е т. 2

3.

Число делится на 36, значит оно делится на 4 и на 9
На 4 оно делится если две последние цифры делятся на 4
Значит, вместо ·
0;2; 3;4;6;8;

Кроме того, число должно делиться на 9, значит сумма цифр должна
делиться на 9

8+3+1+(#)+4=16+(#)

Значит, (#) может быть 2

16+2=18

О т в е т. 83 124

4.
x²–3y=29 ⇒ x²–29=3y

Cправа 3y – кратно 3,
значит и x²–29 должно быть кратно 3

x²>29

x=6

36–29=7 не кратно 3

x=7

49–29 =10 не кратно 3

х=8

64–29=35 не кратно 3


...


перебирайте...


5.

5²=25
25:6=4 ( ост 1)

5³=125
125:6=2 ( ост 5)

...

находим закономерность...

6.

18ⁿ–1=p; p– простое ⇒ 18ⁿ=p+1

18¹=18; ⇒ p=17

других нет. Формула (aⁿ–bⁿ)=(a–b)·(a^n–1+...+b^n–1)