Задача 31242 1)y'+xy=-x^3 ,...

vk366574659

2018-11-23 17:33:06

1)y'+xy=-x^3 , y(0)=3
2)cosydx=(1+xsiny)dy ,y|xn|=ln2
3)xy'''+y''=1/x
4)y'''-2y''=3x^2+x-4

sova

2018-11-23 18:50:34

1) Линейное 1 порядка.
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`+x*u*v = - x^3
u`*v+u*(v`+xv) =- x^3

1) v`+xv = 0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v| = - ln|x| ⇒ v=1/x
2)u`*(1/x)= -x^3
u`=-x^4
u=(-x^5/5)+C

y=u*v=((-x^5/5)+C)*(1/x)

О т в е т. y=(-x^4/5)+(C/x)

3)

y``` + (1/x)y``=(1/x^2)
Замена
y``=u
y```=u`

u`+(1/x)u=(1/x^2)

Решаем однородное уравнение:
u`+(1/x)u=0 - уравнение с разделяющимися переменными
du/u=-dx/x
Интегрируем
ln|u|=-ln|x|+lnC_(1)

u=C_(1)/x

y``=C_(1)/x

y`=C_(1)ln|x|+C_(2)

y=∫(C_(1)lnx+C(2))dx=

=интегрирование по частям u=lnx; dv=dx
du=dx/x; v=x
=C_(1)*(x*lnx-∫(1/x)*xdx)+C_(2)x+C_(3)=

=C_(1)*(x*lnx) - C_(1)x+C_(2)x+C_(3)

4) y```-2y``=0
k^3-2k^2=0
k^2*(k-2)
k_(1,2)=0; k_(3)=2
y_(общее однород)=С_(1)e^(0x)+C_(2)*x*e^(0x)+C_(3)*e^(2x)

y_(общее однород)=С_(1)+C_(2)*x+C_(3)*e^(2x)

y_(частное неоднород.)=x^2*(ax^2+bx+c)

y_(частное неодн)=ax^4+bx^3+cx^2

y`_(частное неодн)=4ax^3+3bx^2+2cx

y``_(частное неодн)=12ax^2+6bx+2c

y```_(частное неодн)=24ax+6b


24ax+6b -2*(12ax^2+6bx+2c)=3x^2+x - 4

-24a^2 +(24a-12b)x -4c=3x^2+x-4

-24a=3
a=-1/8
24a-12b=1
b=-1/3
-4x=-4
c=1

О т в е т. С_(1)+C_(2)*x+C_(3)*e^(2x) -(1/8)x^2 -(1/3)x+1