Задача 11855 Решите неравенство...
Условие
Решение
{x≠0; x≠1, x≠-1
{x≠5; x-5≠1, x-5≠-1
ОДЗ: х≠-1; x≠0; х≠1; х≠4; x≠5; х≠6.
Пусть log_(x^2)(x-5)^2=t, тогда log_(x-5)^2x^2=1/t
Неравенство принимает вид:
t+(1/t) меньше или равно 2;
(t^2-2t+1)/t меньше или равно 0.
t=1 или t < 0
1)
log_(x^2)(x-5)^2=1;
х^2=(x-5)^2
x^2-(x-5)^2=0
(x-5-x)*(x-5+x)=0
2x-5=0
x=2,5
или
2)
log_(x^2)(x-5)^2 < 0
0=log_(x^2)1
если х^2 > 1 логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-5)^2 < 1
Cистема
{x^2 > 1 ⇒ (-∞;-1)U(1;+∞)
{(x-5)^2 < 1 ⇒ (x-5-1)*(x-5+1) < 0
x∈(4;6)
если 0 < х^2 < 1 логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x-5)^2 > 1
Cистема
{0 < x^2 < 1 ⇒ (-1;0)U(0;1)
{(x-5)^2 > 1 ⇒ (x-6)*(x-4) > 0
x∈(-1;0)U(0;1)
C учетом ОДЗ, получаем ответ
О т в е т. x∈(-1;0)U(0;1)U{2,5}U(4;5)U(5;6)