Задача 11855 Решите неравенство...
Условие
Решение
{x≠0; x≠1, x≠–1
{x≠5; x–5≠1, x–5≠–1
ОДЗ: х≠–1; x≠0; х≠1; х≠4; x≠5; х≠6.
Пусть logx2(x–5)2=t, тогда logx–52x2=1/t
Неравенство принимает вид:
t+(1/t) ≤ 2;
(t2–2t+1)/t ≤ 0.
t=1 или t < 0
1)
logx2(x–5)2=1;
х2=(x–5)2
x2–(x–5)2=0
(x–5–x)·(x–5+x)=0
2x–5=0
x=2,5
или
2)
logx2(x–5)2 < 0
0=logx21
если х2 > 1 логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x–5)2 < 1
Cистема
{x2 > 1 ⇒ (–∞;–1)U(1;+∞)
{(x–5)2 < 1 ⇒ (x–5–1)·(x–5+1) < 0
x∈(4;6)
если 0 < х2 < 1 логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x–5)2 > 1
Cистема
{0 < x2 < 1 ⇒ (–1;0)U(0;1)
{(x–5)2 > 1 ⇒ (x–6)·(x–4) > 0
x∈(–1;0)U(0;1)
C учетом ОДЗ, получаем ответ
О т в е т. x∈(–1;0)U(0;1)U{2,5}U(4;5)U(5;6)