{4x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4
{3 -4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 3/4
ОДЗ: x ∈ ((3/4);+∞)
Так как
x^3–8+6x(2–x)=(x-2)(x^2+2x+4)-6x*(x-2)=(x-2)*(x^2+2x+4-6x)=
=(x-2)*(x^2-4x+4)=(x-2)*(x-2)^2=(x-2)^3;
и при x ∈ ((3/4);+∞)
3 - 4x < 0
и
|3-4x| = 4x -3
Неравенство принимает вид
(x - 2)^3/(4x-3) ≤ sqrt(4x - 3);
так как x > 3/4
(x-2)^3 ≤ (sqrt(4x-3))^3
Функция y=u^3 монотонно возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(x-2) ≤ sqrt(4x-3)
При x ≤ 2 неравенство верно при любом х∈ОДЗ
а) x∈((3/4);2]
При x-2 > 0 возводим в квадрат
{x-2 > 0 ⇒ x > 2
{x^2-4x+4 ≤ 4x-3 ⇒ x^2-8x +7 ≤ 0 D=64-28=36; корни 1 и 7; 1≤x ≤7
б) x ∈ ([2;7]
Объединение а) и б) приводит к ответу.
О т в е т. ((3/4);2) U[2;7]=((3/4);7]