Задача 26228 y''(1+x^2) + 2xy'=x^3...

u938410662

13.04.2018

y''(1+x^2) + 2xy'=x^3

SOVA

13.04.2018

★

Применяем метод понижения степени дифференциального уравнения.
y`=z
y``=z`

z`(1+x^2)+2xz=x^3
z`+(2x/(1+x^2))z=(x^3/(1+x^2)) - линейное уравнение первого порядка
z=u*v
z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+((2x/(1+x^2))*uv=(x^3/(1+x^2)) #
Пусть функция v такова, что
v`+(2x/(1+x^2))v=0
Это уравнение с разделяющимися перемнными
dv/v=(-2x/(1+x^2))dx
Интегрируем
ln|v|=-ln|1+x^2| (C=0)
v=(1/(1+x^2))

Подставляем в #
u`=x^3
u=(x^4/4)+C_(1)

z=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))

y`=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))

dy=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))dx
Интегрируем
у= ∫ (x^4)dx/(4*(1+x^2))+ C_(1) ∫ dx/(1+x^2)=

=(1/4) ∫ (x^2-1)+(1/4) ∫ dx/(1+x^2)+C_(1) ∫ dx/(1+x^2)=

=(1/12)x^3-(1/4)x+((1/4)+C_(1))tgx+C_(2)

О т в е т. (1/12)x^3-(1/4)x+((1/4)+C_(1))tgx+C_(2)