Задача 30600 Найдите все значения а, при каждом из...

vk245249758

28 октября 2018 г. в 20:18

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
{ (ay+ax+3)(y+x–a)=0
{ |xy|=a
имеет от одного до пяти решений.

sova

28 октября 2018 г. в 20:34

1) cлучай
a<0
|xy| ≥ 0 ⇒ |xy|=a не имеет решений и вся система не имеет решений

2) случай
а=0

|xy| = 0 ⇒x=0; y=0– одно решение

3) случай
a>0
и
xy>0 ⇒ |xy|=xy

xy=a ⇒ y=a/x
подставляем в первое уравнение

(a·(a/x)+a·x+3)·((a/x)+x–a)=0

ax² + 3x + a² = 0 или x² – ax + a = 0

D=9–4a·a² или D=a²–4a

Если оба дискриминанта положительны

{9–4a³ >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a²–4a > 0 ⇒ a ∈(–∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈(–∞ ;0)

но это противоречит условию случая 3) а>0


Если один дискриминант положительный, а другой отрицательный, система имеет 2 решения
{9–4a³ >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a²–4a < 0 ⇒ a ∈(0 ;4)
⇒ a∈(0 ;∛(9/4))

{9–4a³ <0 ⇒ a > ∛(9/4)
{a²–4a > 0 ⇒ a ∈(–∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈ (4; +∞ )
Итак, при a∈(0 ;∛(9/4))U(4; +∞ ) система имеет два решения

Если один равен 0, а другой положителен
{9–4a³=0 ⇒ a=∛(9/4)
{a²–4a>0 ⇒ a ∈(–∞ ;0) U (4; +∞ )
нет таких значений а
или
{9–4a³>0 ⇒ a< ∛(9/4)
{a²–4a=0 ⇒ a={0;4}
4 не удовл. условию a< ∛(9/4)
a=0 не удовл. условию а >0



4) случай
a>0
и
xy<0 ⇒ |xy|=–xy

–xy=a ⇒ y=–a/x
подставляем в первое уравнение

(a·(–a/x)+a·x+3)·((–a/x)+x–a)=0

ax² + 3x – a² = 0 или x² – ax – a = 0

D=9+4a·a² или D=a²+4a

{ 9+4a² > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a²+4a > 0 , a ∈ (–∞;–4)U(0;+∞ )
4 решения cистемы c учетом a > 0 при a ∈ (0; +∞ )

{ 9+4a² > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a²+4a < 0, т.е a ∈ (–4;0), второе уравнение не имеет корней,
система имеет два решения

{9+4a² > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a²+4a = 0, то второе уравнение имеет один корень.
Но a=0 и a=–4 противоречит условию a>0