Задача 29709 Решить неравенство...

u125190175163

2018-09-20 02:53:34

Решить неравенство
log|sinx|(x^2-8x+23)>3/log2 |sinx|

sova

2018-10-03 11:10:34

ОДЗ:
Так как - основание логарифмической функции положительно и не равно 1, то
{|sinx| >0
{|sinx| ≠ 1
Так как выражение под логарифмом неотрицательно:
{x^2-8x+23 >0
{|sinx|>0
Так как знаменатель дроби не равен 0:
log_(2)|sinx| ≠ 0 ⇒ |sinx| ≠ 1

ОДЗ определяется системой следующих условий:
{|sinx| >0 ⇒ sinx ≠ 0 и sinx ≠ ±1
{|sinx| ≠ 1
{x^2-8x+23 >0 - верно при любом х, так как D=(-8)^2-4*23<0

ОДЗ: x ≠ πk, k ∈ Z ; x ≠ (π/2)+2πn, n ∈ Z; x ≠ (-π/2)+2πm, m ∈ Z

Так как по формуле перехода к другому основанию:

log_(2)|sinx|=1/log_(|sinx|), то неравенство имеет вид:

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > 3 * log_(|sinx|)2.

По свойству логарифма степени:

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > log_(|sinx|)2^3;

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > log_(|sinx|)8.

Логарифмическая функция с основанием 0 < |sinx| < 1 убывающая, поэтому

x^2-8x+23 < 8

x^2-8x+15 < 0

D=64-4*15=4

корни 3 и 5

Решение x∈ (3;5)

C учетом ОДЗ: x ≠ πk, k ∈ Z ; x ≠ (π/2)+2πn, n ∈ Z; x ≠ (-π/2)+2πm, m ∈ Z

из указанного интервала исключаем х= π и х= (-π/2)+2π=3π/2

О т в е т. (3;π)U (π; (3π/2))U((3π/2);5)