Задача 30550 y''+6y'+5y=25x^2-2. y(0)=y'(0)=3...

qwertye5gcb8u7

26 октября 2018 г. в 11:30

y''+6y'+5y=25x²–2. y(0)=y'(0)=3 дифференциальное уравнение

sova

26 октября 2018 г. в 16:13

Решаем однородное уравнение:
y``+6y`+5y=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k²+6k+5=0
D=36–4·5=36–20=16
k₁=(–6–4)/2=–5 или y₂=(–6+4)/2=–1
Общее решение однородного уравнения примет вид:
y_одн.=С₁e·(–5x)+C₂e^–x

Частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде похожем на правую часть.
Справа многочлен второго порядка f(x)=25x²–2,
поэтому
y_част=Ax²+Bx+C

y`_част=2Ax+B

y``_част=2A

подставляем в данное уравнение:

2А+6·(2Ax+B)+5·(Ax²+Bx+C)=25x²–2;

5Ax²+(12A+5B)·x+(2A+6B+5C)=25x²–2

Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при

одинаковых степенях переменной:

5А=25
12А+5B=0
2A+6B+5C=–2

А=5
B=–12
C=12

у_част=5x²–12x+12

y_{общее неодн}=y_одн+y_част= С₁e·(–5x)+C₂e^–x + 5x²–12x+12

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, подставляем
данные
y(0)=3
y`(0)=3

y= С₁e·(–5x)+C₂e^–x + 5x²–12x+12
y`=–5C₁e^–5x – C₂e^–x+10x–12
{С₁e·(–5·0)+C₂e⁰ + 5·0²–12·0+12=3 ⇒ C₁+C₂=–9
{–5C₁e^–5·0 – C₂e⁰+10·0–12=3 ⇒ –5C₁–C₂=15

{C₁= –9 – C₂
{–5·(–9–C₂) – C₂=15 ⇒ 4C₂=–30 ⇒ C₂=–7,5
C₁=–9–(–7,5)=–1,5

О т в е т.
y= С₁e·(–5x)+C₂e^–x + 5x²–12x+12 – общее решение данного неоднородного уравнения
y= –1,5·e^–5x–7,5·e^–x + 5x²–12x+12 – решение задачи Коши.
т.е. частное решение данного неоднородного уравнения, соответствующее условию y(0)=y`(0)=3