Задача 30550 y''+6y'+5y=25x^2-2. y(0)=y'(0)=3...
Условие
Все решения
y``+6y`+5y=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+5=0
D=36-4*5=36-20=16
k_(1)=(-6-4)/2=-5 или y_(2)=(-6+4)/2=-1
Общее решение однородного уравнения примет вид:
y_(одн.)=С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x)
Частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде похожем на правую часть.
Справа многочлен второго порядка f(x)=25x^2-2,
поэтому
y_(част)=Ax^2+Bx+C
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2A
подставляем в данное уравнение:
2А+6*(2Ax+B)+5*(Ax^2+Bx+C)=25x^2-2;
5Ax^2+(12A+5B)*x+(2A+6B+5C)=25x^2-2
Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при
одинаковых степенях переменной:
5А=25
12А+5B=0
2A+6B+5C=-2
А=5
B=-12
C=12
у_(част)=5x^2-12x+12
y_(общее неодн)=y_(одн)+y_(част)= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12
Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, подставляем
данные
y(0)=3
y`(0)=3
y= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12
y`=-5C_(1)e^(-5x) - C_(2)e^(-x)+10x-12
{С_(1)e*(-5*0)+C_(2)e^(0) + 5*0^2-12*0+12=3 ⇒ C_(1)+C_(2)=-9
{-5C_(1)e^(-5*0) - C_(2)e^(0)+10*0-12=3 ⇒ -5C_(1)-C_(2)=15
{C_(1)= -9 - C_(2)
{-5*(-9-C_(2)) - C_(2)=15 ⇒ 4C_(2)=-30 ⇒ C_(2)=-7,5
C_(1)=-9-(-7,5)=-1,5
О т в е т.
y= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12 - общее решение данного неоднородного уравнения
y= -1,5*e^(-5x)-7,5*e^(-x) + 5x^2-12x+12 - решение задачи Коши.
т.е. частное решение данного неоднородного уравнения, соответствующее условию y(0)=y`(0)=3
