Задача 30238 Пожалуйста помогите, распишите все по...
Условие
Все решения
1) ∫ ^(3)_(1)(x^4+x-9)dx=((x^5/5)+(x^2/2)-9x)|^(3)_(1)=
=((3^5/5)+(3^2/2)-9*3)-((1^5/5)+(1^2/2)-9*1)=
=(243/5)+(9/2)-27)-((1/5)-(1/2)-9)=
=(243-1)/5+(9-1)/2 -27+9=48,5+4-18=34,5
2) ∫ ^(3)_(2)dx/(x-1) =
подведение под дифференциал
d(x-1)=(x-1)`*dx=1*dx=dx
= ∫ ^(3)_(2)d(х-1)/(x-1) = ( табличный интеграл ∫du/(u) )
=(ln|x-1|)|^(3)_(2)=ln(3-1)-ln(2-1)=ln2-ln1=ln2-0=ln2
3) ∫ ^(5)_(4)dx/sqrt(x-3) =
подведение под дифференциал
d(x-3)=(x-3)`*dx=1*dx=dx
= ∫ ^(5)_(4)d(х-3)/sqrt(x-3) = ( табличный интеграл ∫du/sqrt(u) )
= (2*sqrt(x-3))|^(5)_(4)=2sqrt(5-3)-2sqrt(4-3)=
=2sqrt(2)-2
4) ∫ ^(2)_(1)(x^3-2)*x^2dx=раскрываем скобки
= ∫ ^(2)_(1)(x^3*x^2-2x^2)dx= свойства интегрирования:
интеграл от разности равен разности интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)
= ∫ ^(2)_(1)x^5dx - 2∫ ^(2)_(1)x^2dx=
=(x^6/6)|^(2)_(1) -2*(x^3/3)|^(2)_(1)=
=(2^6/6)-(1^6/6)-2*((2^3/3)-(1^3/3))=
=(32/3)-(1/6)-(16/3)+(2/3)=35/6
5) ∫ ^(1)_(0)(2+x)e^(x)dx
интегрирование по частям ∫ udv=u*v- ∫ v*du
Обозначаем
u=(2+x) ⇒ du=(2+x)`dx ; du=dx
dv=e^(x)dx ⇒ ∫ dv= ∫ e^(x)dx ⇒ v =e^(x)
∫ (2+x)e^(x)dx=(2+x)*e^(x)- ∫e^(x)*dx = (2+x)*e^(x)+e^(x)=(2+x+1)*e^(x)
∫ ^(1)_(0)(2+x)e^(x)dx=((3+x)*e^(x)| ^(1)_(0) =(3+1)*e-(3+0)*e^(0)=
=4e-3
6) ∫ ^(2)_(1)3x*lnxdx=
интегрирование по частям:
[u=lnx ⇒ du=(1/x)dx;
dv=3xdx ⇒ v=3x^2/2
∫ ^(2)_(1)3x*lnxdx= ((3/2)x^2*lnx)|^(2)_(1)-∫ ^(2)_(1)(3x/2)dx=
= (3/2)*2^2*ln2-(3/2)*1^2*ln1-(3x^2/4)|^(2)_(1)=
=6ln2 - 0 - ((3*2^2/4)-(3*1/4)) =
=6ln2 -(3-3/4)= 6 ln2 - (9/4)
2
1) S= ∫^(4)_(2)(3x-1)dx=((3x^2/2)-x)|^(4)_(2)=(24-4)-(6-2)=20-4=16
2) S=∫^(3)_(0)((-1/3)x^2+3)dx=
=((-1/3)*(x^3/3) +3x)|^(3)_(0)=(-1/3)*(3^3/3)+3*3=-3+9=6
3)
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
-x^2+6=2x+3;
x^2+2x-3=0
D=4-4*(-3)=16
x_(1)=(-2-4)/2=-3; х_(2)=(-2+4)/2=1
S= ∫^(1)_(-3) ((-x^2+6)-(2x+3))dx=
= ∫^(1)_(-3)(-x^2-2x+3)dx= ((-x^3/3)-(2x^2/2)+3x)|^(1)_(-3)=
=(-1/3)-1+3-(9-9-9)=10(2/3)