Задача 28065 Найти производную функций. ...

u57919216

29.05.2018

Найти производную функций.

SOVA

29.05.2018

1) Формула (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((sinx+e^x)`*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-sinx)`)/(e^x-sinx)^2

y`=((cosx+e^x)*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-cosx))/(e^x-sinx)^2

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
(cosx+e^x)*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-cosx)=
=e^xcosx+(e^x)^2-sinxcosx-e^xsinx-e^xsinx-(e^x)^2+sinxcosx+e^xcosx=2e^xcosx-2e^xsinx=2e^x(cosx-sinx)

О т в е т. y`=2e^(x)*(cosx-sinx)/(e^x-sinx)^2

2.
Применяем метод логарифмического дифференцирования
Логарифмируем данное выражение.

lny=ln(e^x*sinx*ln(sinx)

Применяем свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

lny=ln(e^x)+ln(sinx)+ln(ln(sinx))
lny=x +ln(sinx)+ln(ln(sinx))

Дифференцируем равенство, пользуясь формулой производной сложной функции
(lnu)`=u`/u

y`/y=1+(cosx/sinx)+(1/lnsinx)*(cosx/sinx)

y`=y*(1+(cosx/sinx)+(1/lnsinx)*(cosx/sinx))

y`=(e^x*sinx*ln(sinx))*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)/(sinx*lnsinx);

y`=e^x*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)

О т в е т.
y`= e^x*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)