Задача 43318 log4(64x)/log4x-3 +...

coba676767

2020-01-12 12:55:16

log4(64x)/log4x-3 + log4x-3/log4(64x)>=log4x^4-9/(log4)^2x -9

sova

2020-01-12 21:08:54

ОДЗ: x > 0


log_(4)(64x)=log_(4)64+log_(4)x=3+log_(4)x


log_(4)x^4=4log_(4)|x|

так как согласно ОДЗ: х >0, |x|=x, то

4log_(4)|x|=log_(4)x

Значит,

log_(4)x^4=4log_(4)x

log^2_(4)x-9 =по формуле разности кадратов=(log_(4)x-3)(log_(4)x+3)

Неравенство принимает вид:
(3+log_(4)x)/(log_(4)x-3) + (log_(4)x-3)/(3+log_(4)x) ≥ 4log_(4)x-9/(log_(4)x-3)(log_(4)x+3)

Замена переменной

log_(4)x=t


(3+t)/(t-3) + (t-3)/(3+t) ≥ (4t-9)/(t-3)(t+3)

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю:

((3+t)^2+(t-3)^2-(4t-9))/(t-3)(t+3) ≥ 0

(2t^2-4t+27)/(t-3)(t+3) ≥ 0

2t^2-4t+27> 0 при любом t, так как D=(-4)^2-4*2*27 <0

Значит,
(t-3)(t+3) < 0 ⇒

-3 < t < 3

Обратная замена:

-3 < log_(4)x < 3

-3*log_(4)4 < log_(4)x < 3*log_(4)4

log_(4)4^(-3) < log_(4)x < log_(4)4^3

log_(4)(1/64) < log_(4)x < log_(4)64

Логарифмическая функция с основанием 4 монотонно возрастающая, поэтому

(1/64) < x < 64

полученное решение входит в ОДЗ

О т в е т. (1/64; 64)