Задача 42351 ...

sat12

6 декабря 2019 г. в 22:00

Решить неопределённый интеграл вида
∫ sin⁴x×cos⁴x dx
∫ tg⁴ x/2 dx

sova

6 декабря 2019 г. в 23:15

sinx·cosx=(1/2)sin2x

sin⁴x·cos⁴x=(1/16)sin⁴2x=(1/16)·(sin²2x)²=(1/16)·((1–cos4x)/2)²=

=(1/64)·(1–2cos4x+cos²4x)=(1/64)·(1–2cos4x+ (1+cos8x)/2)=

=(1/64)–(1/32)cos4x +(1/128)+(1/128)cos8x=

=(3/128)–(1/32)cos4x+(1/128)cos8x



∫ sin⁴x·cos⁴x dx= (3/128) ∫ dx – (1/32) ∫ cos4xdx+(1/128) ∫ cos8xdx=

=(3/128)x–(1/128)sin4x+(1/1024)sin8x+C


tg⁴(x/2)=tg²(x/2)·tg²(x/2)=tg²(x/2) ·((1/cos²(x/2)) –1)=

=tg²(x/2)·(1/cos²x/2) – tg²(x/2)=

=tg²(x/2)·(1/cos²x/2) – ((1/cos²(x/2)) –1)=

=tg²(x/2)·(1/cos²x/2) – (1/cos²(x/2)) +1



∫ tg⁴(x/2) dx= ∫ tg²(x/2)·(1/cos²x/2)dx – ∫ (1/cos²(x/2))dx + ∫ dx=

= 2 ∫ tg²(x/2) d(tg(x/2)) – 2 ∫ d(x/2)/cos²(x/2) +x +c=

=2(tg³(x/2))/3–2tg(x/2) + x + C=

=(2/3)·tg³(x/2)–2tg(x/2) + x + C


так как
d(tg(x/2))=(1/cos²(x/2))·(x/2)`dx ⇒

2d(tg(x/2)=dx/cos²(x/2)