Задача 32561 10. Найдите точку пересечения прямой и...

vk448340035

6 января 2019 г. в 15:34

10. Найдите точку пересечения прямой и плоскости, заданных уравнениями

[m] \frac{x-1}{-1} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-1}{2} , \, x-3y+7z-24=0. [/m]

11. Найдите точку [m] M' [/m] симметричную точке [m] M [/m] относительно прямой, если: [m] M(2,-1,1) [/m],

[m] \frac{x-4,5}{1} = \frac{y+3}{-0,5} = \frac{z-2}{1} [/m]

··Вариант 4··

1. Найдите угол между прямыми на плоскости у=37+х и у=19–х.

2. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(2;4) перпендикулярно к прямой у=6х–7.

3. Найдите уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(–8, 0) и В(–3, 2).

4. Найдите площадь квадрата, стороны которого лежат на
прямых 3х–4у+10=0 и 6х–8у–13=0.

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору [m]\mathbf{n}[/m], если А(– 10,0,9), В(12,4,11), С(8,5,15).

6. Известно, что одна из граней куба находится на плоскости, проходящей через три точки А (1,1, –7), В( 1, 2, –4) и С (–3, –2, 0), а одна из вершин – точка Д(–1, 7, –1).
а) найдите объем куба;
б) найдите уравнение ребра куба, проходящего через точку Д перпендикулярного грани, лежащей на плоскости АВС;
в) уравнение плоскости, на которой лежат грань куба, параллельная плоскости АВС, и точка Д.

7. Найдите угол между плоскостями
[m] 3x+У+2z+15=0 [/m]
и
[m]5х+9у-3z=0.[/m]

8. Найдите координаты точки А, равноудаленной от точек В и С, если: А(0.0.z), B(–1,1,–6), С (2.3.5)

9. Составте канонические уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей x+y+2=0 и x+y–2z+2=0.

sova

7 января 2019 г. в 20:39

Составим уравнение плоскости АВС ( см. приложение 1)
24x–12y+12z+48=0
или
2х–у+z+4=0

Найдем проекцию точки D на плоскость 2х–у+z+4=0
Для этого составим уравнение прямой DD_o, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
Это означает, что нормальный вектор плоскости АВС
n=(2;–1;1) является направляющим вектором прямой
(x–(–1))/2=(y–7)/(–1)=(z–(–1))/1
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
(x+1)/2=(y–7)/(–1)=(z+1)/1=t
x=2t–1
y=–t+7
z=t–1
и подставим в уравнение плоскости
2(2t–1)–(–t+7)+(t–1)+4=0
6t–6=0
t=1
При t=1
x=1
y=6
z=0
D_o(1;6;0) – проекция точки D на плоскость АВС
DD_o=√(1–(–1))²+(6–7)²+(0–(–1))²=√4+1+1=√6 – длина ребра куба.
V=a³=(√6)³=6√6

б) Это и есть уравнение DD_o
(x+1)/2=(y–7)/(–1)=(z+1)/1
или в параметрическом виде:
x=2t–1
y=–t+7
z=t–1

в) Это уравнение плоскости, проходящей через точку D и имеющей нормальный вектор n=(2;–1;1)
2·(x+1)–(y–7)+(z+1)=0
2x–y+z+10=0

Между прочим, расстояние между этими плоскостями и равно ребру куба.

См. формулу (приложение 2)
d=|D₂–D₁|/√2²+(–1)²+1²=√6

9.
Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть первая координата х=0
{y+z–2=0
{–y–2z+2=0
Cкладываем
z=0
y=2
M(0;2;0) – принадлежит этой прямой
Пусть y=0
{x+z–2=0
{x–2z+2=0
вычитаем
3z–4=0
z=4/3
x=2/3
N(2/3;0;4/3) – принадлежит прямой.

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки M и N
(x–0)/(2/3)=(y–2)/(0–2)=(z–0)/(4/3)

x/(2/3)=(y–2)/(–2)=z/(4/3)