Задача 32561 ...
Условие
Все решения
24x-12y+12z+48=0
или
2х-у+z+4=0
Найдем проекцию точки D на плоскость 2х-у+z+4=0
Для этого составим уравнение прямой DD_(o), проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
Это означает, что нормальный вектор плоскости АВС
vector{n}=(2;-1;1) является направляющим вектором прямой
(x-(-1))/2=(y-7)/(-1)=(z-(-1))/1
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1=t
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1
и подставим в уравнение плоскости
2(2t-1)-(-t+7)+(t-1)+4=0
6t-6=0
t=1
При t=1
x=1
y=6
z=0
D_(o)(1;6;0) - проекция точки D на плоскость АВС
DD_(o)=sqrt((1-(-1))^2+(6-7)^2+(0-(-1))^2)=sqrt(4+1+1)=sqrt(6) - длина ребра куба.
V=a^3=(sqrt(6))^3=6sqrt(6)
б) Это и есть уравнение DD_(o)
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1
или в параметрическом виде:
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1
в) Это уравнение плоскости, проходящей через точку D и имеющей нормальный вектор vector{n}=(2;-1;1)
2*(x+1)-(y-7)+(z+1)=0
2x-y+z+10=0
Между прочим, расстояние между этими плоскостями и равно ребру куба.
См. формулу (приложение 2)
d=|D_(2)-D_(1)|/sqrt(2^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(6)
9.
Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть первая координата х=0
{y+z-2=0
{-y-2z+2=0
Cкладываем
z=0
y=2
M(0;2;0) - принадлежит этой прямой
Пусть y=0
{x+z-2=0
{x-2z+2=0
вычитаем
3z-4=0
z=4/3
x=2/3
N(2/3;0;4/3) - принадлежит прямой.
Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки M и N
(x-0)/(2/3)=(y-2)/(0-2)=(z-0)/(4/3)
x/(2/3)=(y-2)/(-2)=z/(4/3)