Задача 32903 Говорят, что функция [m] f(x) [/m] имеет...

89374793820

21 января 2019 г. в 20:08

Говорят, что функция [m] f(x) [/m] имеет устранимый разрыв в точке [m] x = a [/m], если:
1. [m] f(a - 0) := \lim_{x \to a - 0} f(x) [/m] – предел слева – существует.
2. [m] f(a + 0) := \lim_{x \to a + 0} f(x) [/m] – предел справа – существует.
3. [m] f(a - 0) = f(a + 0) [/m].
4. [m] f(a) [/m] или неопределена или [m] f(a) \neq f(a \pm 0) [/m].
Если выполнены условия 1 – 2, но не выполнено условие 3, то разрыв называется неустранимым , а точка [m] x = a [/m] называется неустранимой точкой разрыва . Покажите, что функция

[m] f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 10x + 27 & \text{if} \ x < -5 \\
1 & \text{if} \ x = -5 \\
-x^2 - 10x - 23 & \text{if} \ x > -5
\end{cases} [/m]

имеет устранимый разрыв в точке [m] x = -5 [/m],

(a) проверив пункты (1) – (3) определения,

(b) переопределив

[m] f(-5) = [/m]

[m] -20 [/m]

так, чтоб [m] f [/m] стала непрерывной в точке [m] x = -5 [/m].

sova

21 января 2019 г. в 21:34

★

lim_x→–5–0f(x)=(–5)²+10·(–5)+27=2
lim_x→–5+0f(x)=–(–5)²–10·(–5)–23=2

Предел слева равен пределу справа и равен 2
Значит функция имеет предел в точке и он равен 2
Переопределив
f(–5)=2
Тогда и предел функции и значение функции в точке (–5) будут равны 2, а это определение непрерывности функции в точке.
Функция становится непрерывной