Задача 30755 Найдите наименьшее значение выражения [L...

slava191

2018-11-03 13:53:00

Найдите наименьшее значение выражения [L 12]

z = sqrt((2x-1)^2+(3y-1)^2) + sqrt((2x-3y)^2+9y^2)

sova

2018-11-04 19:36:35

★

Пусть A(1;1); B(2x;3y); C(3y;0)

Тогда
vector{AB}=((2x-1);(3y-1))
vector{CB}=((2x-3y);(3y-0))

z - это сумма длин векторов vector{AB}+vector{CB}

z= |vector{AB}|+|vector{СB}|

Так как |vector{СB}|=|vector{BС}|

z= |vector{AB}|+|vector{BС}|

По свойствам модуля:
|vector{AB}+vector{CB}| =| vector{AB}-vector{BС}|=

=|vector{AB}+ (-1*vector{BС})| ≤ |vector{AB}|+|vector{BС}|=

= |vector{AB}|+|vector{СB}|=z

Значит,

z ≥ | vector{AB}-vector{BС}|


vector{CB}=-vector{BС}
vector{BС}=((-2x+3y);(-3y))

vector{AB}-vector{BС}=(2x-1-2x+3y;3y-1-3y)=(3y-1;-1)

| vector{AB}-vector{BС}|=sqrt((3y-1)^2+(-1)^2) принимает наименьшее значение 1 при у=1/3
Значит,
z ≥ 1

О т в е т. 1