Задача 30755 Найдите наименьшее значение выражения [L...

slava191

3 ноября 2018 г. в 13:53

Найдите наименьшее значение выражения [L 12]

z = √(2x–1)²+(3y–1)² + √(2x–3y)²+9y²

sova

4 ноября 2018 г. в 19:36

★

Пусть A(1;1); B(2x;3y); C(3y;0)

Тогда
AB=((2x–1);(3y–1))
CB=((2x–3y);(3y–0))

z – это сумма длин векторов AB+CB

z= |AB|+|СB|

Так как |СB|=|BС|

z= |AB|+|BС|

По свойствам модуля:
|AB+CB| =| AB–BС|=

=|AB+ (–1·BС)| ≤ |AB|+|BС|=

= |AB|+|СB|=z

Значит,

z ≥ | AB–BС|


CB=–BС
BС=((–2x+3y);(–3y))

AB–BС=(2x–1–2x+3y;3y–1–3y)=(3y–1;–1)

| AB–BС|=√(3y–1)²+(–1)² принимает наименьшее значение 1 при у=1/3
Значит,
z ≥ 1

О т в е т. 1