Задача 10421 Найдите все положительные значения а,...

Izenhaym

07.10.2016

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее из двух чисел b=a^4(1-5a^(-2))-1 и c=a^(-3)(5a-a^(-1))-1 больше, чем -7.

SOVA

07.10.2016

★

По условию а≠0

Если меньшее из чисел больше -7, то они оба больше-7.
b > -7 и c > -7.
{a^4(1–5a^(–2))–1 > -7,
{a^(–3)(5a–a^(–1))–1 > -7.

{a^4–5a^2+6 > 0,
{a^(–4)-5a^(–2)–6 < 0.

Обозначим t=a^2, u=a^(-2)
{t^2-5t+6 > 0,
{u^2-5u-6 < 0.

{(t-2)(t-3) > 0,
{(u-6)(u+1) < 0

{t < 2 или t > 3,
{-1 < u < 6.

{a^2 < 2 или a^2 > 3,
{-1 < a^(-2) < 6.

1/а^2 > -1 при любом a≠0
то получаем совокупность двух систем неравенств:
1)
{a^2 < 2,
{1 < 6a^2
{a≠0
2)
{a^2 > 3
{1 < 6a^2
{a≠0
Ответ.(-∞;-√3)U(-√2;-1/√6)U(1/√6;√2)U(√3;+∞)