Задача 23978 44. Наудачу взяты два положительных...

slava191

19.02.2018

44. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероят­ность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное у/х не больше двух.

SOVA

03.08.2018

★

{0 меньше или равно x меньше или равно 2
{0 меньше или равно y меньше или равно 2
{xy меньше или равно 1;
{y/x меньше или равно 2

См. рис. 1

Первые два неравенства задают квадрат [0;2]×[0;2]

По формуле геометрической вероятности

p=S(области)/S(квадрата)

S(квадрата)=2*2=4

Найдем абсциссы точки пересечения
прямой y=2x и гиперболы y=1/x
2x=1/x
2x^2=1
x=±sqrt(1/2)

S(области)=∫ ∫_(D) dxdy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)dx ∫^(2x)_(0)dy + ∫^(2) _(sqrt(1/2))dx ∫^(1/x)_(0)dy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)(2x)dx + ∫^(2) _(sqrt(1/2))(1/x)=

=(x^2)|^(sqrt(1/2)) _(0)+ln|x||^(2) _(sqrt(1/2))=(1/2) - 0 +ln2- ln sqrt(1/2)=

=(1/2)+ln2-ln(2)^(-1/2)=(1/2)+(3/2)ln2

S(квадрата)=2*2=4

p=((1/2)+(3/2)ln2)/4=(1/8)+(3/8)ln2