Задача 9377 ...

Lyaba2014

6 марта 2016 г. в 00:00

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5√2

SOVA

6 апреля 2016 г. в 00:00

★

а) треугольники АВС и APD подобны по двум углам:
∠BCA=∠PDA – как опирающиеся на одну и ту же дугу АВ.
∠BAС=∠PAD– как опирающиеся на равные дуги ВС и CD.
Равные хорды BC=CD стягивают равные дуги.
Из подобия треугольников получаем пропорциональность сторон.
AB:BC=AP:PD.
б) Так как BD – диаметр, то ВО=ОD как радиусы описанной окружности.
∠ВСD– прямой, опирается на диаметр.
Треугольник BCD – прямоугольный равнобедренный ВС=СD.
В треугольниках COD и BOC основания равны, высота общая.
S(ΔСOD) = S(ΔВOС) = (1/2)S(ΔBCD)=(1/2)BC•CD=
=(1/2)•(5√2)•(5√2)=25 кв. ед.
AB=5 – лишнее данное?
О т в е т. S(ΔСOD) =25 кв. ед.