Задача 46372 Найдите наименьшее значение...

saffsg

2020-04-08 10:29:15

Найдите наименьшее значение выражения
3x^2-6xy+y^2+5x+96y-68 , если x+2y=7 .

sova

2020-04-08 12:02:04

x+2y=7 ⇒ x=7-2y


Подставим в данное выражение:

3x^2-6xy+y^2+5x+96y-68=3*(7-2y)^2-6*y(7-2y)+y^2+5*(7-2y)+96y-68=

=([b]7-2y[/b])*(3*([b]7-2y[/b])-6y)+y^2+35-10y+96y-68

раcкрываем скобки

=(7-2y)*(21-12y)+y^2+86y-33=

=147[red]-42y-84y[/red]+[b]24y^2[/b]+[b]y^2[/b]+35+[red]86y[/red]-33=

и получим квадратный трехчлен:

=25y^2+40y+114

f(y)=25y^2+40y+114

принимает наименьшее значение при y=[m]-\frac{40}{50}=-\frac{4}{5}[/m]

f([m]-\frac{4}{5}[/m])=25*([m]-\frac{4}{5}[/m])^2+40*([m]\frac{-4}{5}[/m]))+114=

=16-32+114=130-32=[b]98[/b]