Задача 46372 Найдите наименьшее значение...

saffsg

8 апреля 2020 г. в 10:29

Найдите наименьшее значение выражения
3x²–6xy+y²+5x+96y–68 , если x+2y=7 .

sova

8 апреля 2020 г. в 12:02

x+2y=7 ⇒ x=7–2y


Подставим в данное выражение:

3x²–6xy+y²+5x+96y–68=3·(7–2y)²–6·y(7–2y)+y²+5·(7–2y)+96y–68=

=(7–2y)·(3·(7–2y)–6y)+y²+35–10y+96y–68

раcкрываем скобки

=(7–2y)·(21–12y)+y²+86y–33=

=147–42y–84y+24y²+y²+35+86y–33=

и получим квадратный трехчлен:

=25y²+40y+114

f(y)=25y²+40y+114

принимает наименьшее значение при y=[m]-\frac{40}{50}=-\frac{4}{5}[/m]

f([m]-\frac{4}{5}[/m])=25·([m]-\frac{4}{5}[/m])²+40·([m]\frac{-4}{5}[/m]))+114=

=16–32+114=130–32=98