Задача 10616 Дано уравнение (cos2x+cosx+1)/(sinx-1) =...

slava191

17 октября 2016 г.

Дано уравнение (cos2x+cosx+1)/(sinx–1) = 0

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [–9π/2; –3π]

SOVA

17 октября 2016 г.

★

А) Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
Система
{cos2x+cosx+1=0,
{sinx–1 ≠ 0; х ≠(π/2)+2πm, m∈Z


cos2x=2cos²x–1, поэтому первое уравнение принимает вид
2cos²x–1+сosx+1=0
2cos²x+cosx=0
cosx(2cosx+1)=0
cosx=0 или 2 сosx+1=0
x=(π/2)+πk, k∈Z
или
cosx=–1/2
x=±arccos(–1/2)+2πn, n ∈ Z.
x=±(π–arccos(1/2))+2πn, n ∈ Z.
x=±(π–(π/3))+2πn, n ∈ Z.
x=±(2π/3)+2πn, n ∈ Z.
О т в е т.
А) x=(–π/2)+2πk, x=±(2π/3)+2πn, k, n ∈ Z.

Б) Указанному промежутку принадлежат корни
(см. рисунок)
–7π/3; –9π/2