Задача 9566 Пусть q – наименьшее общее кратное, а d...

LyubovBelousova

28.06.2016

Пусть q – наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y–29.

а) Может ли q/d — быть равным 170?

б) Может ли q/d — быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение q/d

SOVA

28.06.2016

★

По условию d=НОД(x,y), значит x=du, y=dv, где u,v - взаимно простые натуральные числа.
Тогда q=duv, и значит, q/d=uv.
Используем равенство:
3х=8у-29;
3du=8dv-29;
29=8dv-3du;
Выносим d за скобки:
29=d•(8v-3u);
29- простое число.
29=29•1
29•1=d•(8v-3u)
Возможны
1) случай
d=1,
8v-3u=29.
а) Пусть q/d=170, т.е uv=170⇒ v=170/u
8•(170/u)-3u=29;
3u²+29u-1360=0
D=29²+4•3•1360=131²
u=17 ( второй корень отрицательный, не удовлетворяет условию числа х и у - натуральные)
v=10
Ответ. а) может.
б) Пусть q/d=2, т.е uv=2⇒ v=2/u
8•(2/u)-3u=29;
3u²+29u-16=0
D=29²+4•3•16=1033
1033 не является квадратом натурального числа.
Ответ б) не может
в)
если q/d=1, то x=y, что невозможно, так как не выполняется равенство 3х=8у-29.
если q/d=2, то xy=2;
х=1, у=2 или х=2, у=1
не выполняется равенство 3х=8у-29;
если q/d=3, то xy=3;
х=1, у=3 или х=3, у=1
не выполняется равенство 3х=8у-29;
если q/d=4, то xy=4;
х=1, у=4 или х=4, у=1
Равенство 3х=8у-29 выполняется при х=1 и у=4
Это и есть наименьшее значение q/d.
О т в е т. наименьшее значение q/d=4.

2) cлучай.
d=29
3u=8v-1
u=13; v=5
x=377; у=145