Задача 41327 Пожалуйста помогите найти интеграл...

vk554671208

7 ноября 2019 г. в 22:58

Пожалуйста помогите найти интеграл
Интеграл x²cosx dx
Интеграл dx/sin x
Интеграл sin³ x / cosx –3 dx
Интеграл cos³ x / sin⁴ x

sova

7 ноября 2019 г. в 23:55

1.
∫ x²cosxdx
по частям:
u=x²
dv=cosxdx

du=2xdx
v=sinx

∫ x²cosxdx=x²·sinx– ∫ sinx·(2x)dx=x²·sinx–2∫ x·sinxdx=

еще раз по частям:
u=x
dv=sinxdx

du=dx
v=–cosx

=x²·sinx–2·(x·(–cosx) – ∫ (–cosx)dx)=

=x²·sinx +2xcosx–2 ∫cosxdx=

=x²sinx+2xcosx–2sinx + C

2.
[m]\int \frac{dx}{sinx}=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx+\int \frac{cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=[/m]

[m]=\int \frac{sin\frac{x}{2}}{2cos\frac{x}{2}}dx+\int \frac{cos\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}dx=[/m]

[m]=-ln|cos\frac{x}{2}|+ln|sin\frac{x}{2}|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C[/m]

3.
Замена
cosx–3=t
cosx=t+3
d(cosx)=d(t+3)
–sinxdx=dt ⇒ sinxdx=–dt
cos²x=(t+3)²

sin²x=1–cos²x=1–(t+3)²=(1–t–3)(1+t+3)=(t+4)·(–t–2)=

=–(t+4)(t+2)=–(t²+6t+8)

[m]\int \frac{sin^3x}{cosx-3}dx=\int \frac{sinx\cdot sin^2x}{cosx-3}dx=\int \frac{t^2+6t+8}{t}dt=[/m]

= ∫ (t+6+[m]\frac{8}{t}[/m])dt=

=[m]\frac{t^2}{2}[/m]+6t+8ln|t|+C=

обратный переход:

=[m]\frac{(cosx-3)^2}{2}[/m]+6·(cosx–3)+8ln|cosx–3|+C


4.

[m]\int \frac{cos^3x}{sin^4x}dx=\int \frac{cosx\cdot cos^2x}{sin^4x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{cosx\cdot (1-sin^2x)}{sin^4x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{1}{sin^4x}cosdx-\int \frac{sin^2x}{sin^4x}(cosxdx)=[/m]


[m]=\int \frac{d(sinx)}{sin^4x}-\int \frac{d(sinx)}{sin^2x}=[/m]

[m]=\int \frac{dt}{t^4}-\int \frac{du}{u^2}=[/m]

[m]=-\frac{1}{3sin^3x}+\frac{1}{sinx} + C[/m]