y`=(y/x)+(sqrt(x^2-4y^2)/x) ⇒
y`=(y/x)+sqrt(1-4(y/x)^2)
( cм. приложение)
Решается заменой:
y/x=u ⇒ y=x*u
y`=x`*u+x*u` (x`=1, так как x - независимая переменная)
Подставляем в уравнение:
x*(u+xu`)=x*u+sqrt(x^2-4*(x*u)^2)
x*u`=sqrt(1-4u^2) - уравнение с разделяющимися переменными
du/sqrt(1-4u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1-4u^2)= ∫ dx/x
(1/2)* ∫ d(2u)/sqrt(1-(2u)^2)= ∫ dx/x
(1/2)arcsin 2u+C=ln|x|
u=y/x
(1/2)arcsin(2y/x)+C=ln|x|- общее решение