z = xy+50/x+20/y
z`_(x)=y-(50/x^2)
z`_(y)=x-(20/y^2)
Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{y-(50/x^2)=0 ⇒ yx^2=50
{x-(20/y^2)=0 ⇒ xy^2=20
Перемножаем
x^3y^3=1000
xy=10
⇒
10x=50
x=5
у=2
М(5;2)- стационарная точка.
Применяем достаточный признак экстремума
z``_(xx)=(y-(50/x^2))`_(x)=-50*(x^(-2))`_(x)=100/x^3
z``_(xy)=(y-(50/x^2))`_(y)=1
z``_(yx)=((x-(20/y^2))`_(x)=1
z``_(yy)=((x-(20/y^2))`_(y)=-20*(y^(-2))`_(y)=40/y^3
Находим значение частных производных в точке М
А=z``_(xx)(М)=100/125
В=z``_(xy)(М)=z``_(yx)(М)=1
С=z``_(yy)(М)=40/8=5
Определитель второго порядка, составленный из значений частных производных
АС-В^2=(100/125)*5-1=3 > 0
A > 0
значит точка М - точка минимума