Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 22322 Исследовать функцию двух переменных на...

Условие

Исследовать функцию двух переменных на экстремум

z = xy+50/x+20/y

математика ВУЗ 4052

Решение

Находим частные производные
z`_(x)=y-(50/x^2)
z`_(y)=x-(20/y^2)

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{y-(50/x^2)=0 ⇒ yx^2=50
{x-(20/y^2)=0 ⇒ xy^2=20

Перемножаем
x^3y^3=1000
xy=10

10x=50
x=5
у=2

М(5;2)- стационарная точка.

Применяем достаточный признак экстремума
z``_(xx)=(y-(50/x^2))`_(x)=-50*(x^(-2))`_(x)=100/x^3
z``_(xy)=(y-(50/x^2))`_(y)=1
z``_(yx)=((x-(20/y^2))`_(x)=1
z``_(yy)=((x-(20/y^2))`_(y)=-20*(y^(-2))`_(y)=40/y^3

Находим значение частных производных в точке М
А=z``_(xx)(М)=100/125
В=z``_(xy)(М)=z``_(yx)(М)=1
С=z``_(yy)(М)=40/8=5

Определитель второго порядка, составленный из значений частных производных
АС-В^2=(100/125)*5-1=3 > 0
A > 0
значит точка М - точка минимума

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК