Задача 22322 Исследовать функцию двух переменных на...

slava191

13 января 2018 г.

Исследовать функцию двух переменных на экстремум

z = xy+50/x+20/y

SOVA

13 января 2018 г.

★

Находим частные производные
z`<sub>x</sub>=y–(50/x<sup>2</sup>)
z`_y=x–(20/y²)

Находим стационарные точки
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{y–(50/x²)=0 ⇒ yx²=50
{x–(20/y²)=0 ⇒ xy²=20

Перемножаем
x³y³=1000
xy=10
⇒
10x=50
x=5
у=2

М(5;2)– стационарная точка.

Применяем достаточный признак экстремума
z``<sub>xx</sub>=(y–(50/x<sup>2</sup>))`<sub>x</sub>=–50·(x<sup>–2</sup>)`<sub>x</sub>=100/x<sup>3</sup>
z``_xy=(y–(50/x²))`<sub>y</sub>=1
z``<sub>yx</sub>=((x–(20/y<sup>2</sup>))`_x=1
z``_yy=((x–(20/y²))`<sub>y</sub>=–20·(y<sup>–2</sup>)`_y=40/y³

Находим значение частных производных в точке М
А=z``<sub>xx</sub>(М)=100/125
В=z``_xy(М)=z``<sub>yx</sub>(М)=1
С=z``_yy(М)=40/8=5

Определитель второго порядка, составленный из значений частных производных
АС–В²=(100/125)·5–1=3 > 0
A > 0
значит точка М – точка минимума