Задача 33561 Решить...

vk315681991

13 февраля 2019 г. в 16:11

Решить неравенство

log_1,5x+1(3x+7)·log_1+(3x/2)((24x+56)/(3x+2)³) ≤ –2

sova

13 февраля 2019 г. в 18:47

1+(3x/2)=1+1,5x
24x+56=8·(3x+7)
ОДЗ:
{1,5x+1>0 ⇒ x > – 2/3;
{1,5x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{3x+7 > 0 ⇒ x > –7/3
в перечисленных условиях уже учтено, что
(24х+56)/(3х+2) >0
ОДЗ:
x ∈ (–2/3; 0) U (0; + ∞ )

Применяем свойства логарифмов ко второму логарифму
логарифм частного равен разности логарифмов

log_1+(3x/2)(24x+56)/(3x+2)³=

=log_1+(3x/2)(24x+56)– log_1+(3x/2)(3x+2)³=

=log_1+1,5x(8·(3x+7)) –3log_1+1,5x·(2·(1+1,5x))=
логарифм произведения равен сумме логарифмов

= log_1+1,5x8 + log_1+1,5x(3x+7) – 3log_1+1,5x2–3log_1+1,5x(1+1,5x)=

=3log_1+1,5x2+log_1+1,5x(3x+7) – 3log_1+1,5x2–3=

=log_1+1,5x(3x+7)–3

Получаем уравнение

log_1+1,5x(3x+7)·(log_1+1,5x(3x+7)–3) ≤ –2

Замена переменной
t=log_1+1,5x(3x+7)

t·(t–3) ≤ –2

t²–3t+2 ≤ 0

D=9–8=1
t₁=(3–1)/2=1 или t₂=(3+1)/2=2

___ [1] _ –__ [2] __

1 ≤ t ≤ 2

Обратная замена

1 ≤ log_1+1,5x(3x+7) ≤ 2

{log_1+1,5x(3x+7) ≥ 1=log_1+1,5x(1+1,5x)
{log_1+1,5x(3x+7) ≤ log_1+1,5x(1+1,5x)²


Применяем [b] метод рационализации логарифмических неравенств ( см. приложение) к каждому уравнению системы

{log_1+1,5x(3x+7) ≥ 1=log_1+1,5x(1+1,5x)
{log_1+1,5x(3x+7) ≤ log_1+1,5x(1+1,5x)²

Получим
{(1+1,5x–1)·(3x+7–1–1,5x) ≥0
{(1+1,5x–1) ·(3x+7–(1+1,5x)²) ≤ 0

{1,5x·(1,5x+6) ≥ 0
{1,5x·(3x+7–1–3x–2,25x²) ≤ 0

Так как множитель x есть в каждом неравенстве системе
рассматриваем два случая с учетом ОДЗ:
(1)
{(–2/3)< x<0;
{1,5x+6 ≤ 0⇒ x ≤ –4
{–2,25x²+6 ≥ 0
первое и второе неравенства системы несовместны
cистема не имеет решений.

(2)
{x>0
{1,5x+6 ≥0 ⇒ x ≥ –4
{–2,25x²+6 ≤ 0 ⇒x²≥ 8/3

x≥ √8/3=√24/(3)=2√6/3

О т в е т. [2√6/3;+ ∞ )