Задача 15197 ...

u9519014892

21.04.2017

2. Точка О — центр окружности, ∠ AOB = 70 ° (см. рисунок). Найдите величину угла АСВ(в градусах).

3. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠ NBA=34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

4. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ ABC=46° и ∠ OAB=28°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

5.Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

SOVA

21.04.2017

★

2.
∠АОВ- центральный угол, опирается на дугу АС и равен градусной мере этой дуги.
Значит градусная мера дуги АС равна 70°
∠АСВ - вписанный угол, опирается на дугу АС. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠АСВ =35°.
3.
Δ АNB - прямоугольный, так как ∠АСВ опирается на диаметр и равен 90°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Значит ∠NAB=90°-∠NBA=90°-34°=56°
∠NAB=∠NMB=56° как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NB.
4.
∠ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
Значит градусная мера дуги АС равна 92°.
∠AOC-центральный угол, опирающийся на дугу АС.
Значит ∠AOC=92 °
Δ АОC - равнобедренный (АО=ОC=R)
∠OAC=∠OCA=(180 °-92°)/2=44°
∠ВAC=∠ВAО+∠СAО=28°+44°=72°
∠ВAC - вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Значит градусная мера дуги ВС 144°
Градусная мера дуги ВА
360°-144°-92°=124°
Значит ∠ВCА=62 °
∠ВCО=∠ВCА-∠ОCА=62°-44°=18°
5.
Пусть касательные пересекаются в точке К.
∠АКВ=56°
Касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.
Значит
∠ОАК=∠ОВК=90°
Сумма углов четырехугольника ОАКВ равна 360°
Значит
∠АОВ=360°-90°-90°-56°=124°
Δ АОВ - равнобедренный (АО=ОВ=R)
∠OAB=∠OBA=(180 °-124°)/2=28°
∠АBO=28°