Задача 49578 ...

tupiza

7 мая 2020 г. в 16:18

5^log2₅x+x^log₅x ≥ 2√5 (четвертичный корень)

sova

7 мая 2020 г. в 16:25

★

x>0; x ≠ 1
По свойству степени aⁿ²=a^n·n=(aⁿ)ⁿ


[m]5^{log^2_{5}x}=(5^{log_{5}x})^{log_{5}x}=x^{log_{5}x}[/m]

Поэтому

[m]x^{log_{5}x}+x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]2\cdot x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]x^{log_{5}x} ≥ \sqrt[4]{5}[/m]

Логарифмируем по основанию 5

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, знак неравенства сохраняется:

[m]log_{5}x^{log_{5}x} ≥log_{5}5^{\frac{1}{4}}[/m]

свойства логарифма степени:

[m]log_{5}x\cdot log_{5}x ≥\frac{1}{4}[/m]

[m]log^2_{5}x-\frac{1}{4} ≥ 0[/m]

[m](log_{5}x-\frac{1}{2})(log_{5}x+\frac{1}{2}) ≥ 0[/m]

[m]-\frac{1}{2} ≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2}[/m]

[m]-\frac{1}{2} log_{5}5≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2} log_{5}5[/m]

[m] log_{5}5^{-\frac{1}{2}} ≤ log_{5}x ≤ log_{5}5^{ \frac{1}{2}}[/m]


[m] 5^{-\frac{1}{2}} ≤x ≤5^{ \frac{1}{2}}[/m]


О т в е т. [1/√5; √5]