Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 49578 ...

Условие

5^(log^(2)_(5)x)+x^(log_(5)x) ≥ 2sqrt(5) (четвертичный корень)

математика 10-11 класс 4144

Решение

x>0; x ≠ 1
По свойству степени a^(n^2)=a^(n*n)=(a^(n))^(n)


[m]5^{log^2_{5}x}=(5^{log_{5}x})^{log_{5}x}=x^{log_{5}x}[/m]

Поэтому

[m]x^{log_{5}x}+x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]2\cdot x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]x^{log_{5}x} ≥ \sqrt[4]{5}[/m]

Логарифмируем по основанию [b]5[/b]

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, знак неравенства сохраняется:

[m]log_{5}x^{log_{5}x} ≥log_{5}5^{\frac{1}{4}}[/m]

свойства логарифма степени:

[m]log_{5}x\cdot log_{5}x ≥\frac{1}{4}[/m]

[m]log^2_{5}x-\frac{1}{4} ≥ 0[/m]

[m](log_{5}x-\frac{1}{2})(log_{5}x+\frac{1}{2}) ≥ 0[/m]

[m]-\frac{1}{2} ≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2}[/m]

[m]-\frac{1}{2} log_{5}5≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2} log_{5}5[/m]

[m] log_{5}5^{-\frac{1}{2}} ≤ log_{5}x ≤ log_{5}5^{ \frac{1}{2}}[/m]


[m] 5^{-\frac{1}{2}} ≤x ≤5^{ \frac{1}{2}}[/m]


О т в е т. [1/sqrt(5); sqrt(5)]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК