Задача 52462 ...

laviosa

15 июня 2020 г. в 15:23

10. Сумма числового ряда равна ...

∞
Σ (4^n – 3^n) / 12^n
n=1

⭕ 1/12
⭕ 1/6
⭕ 5/6
⭕ 7/12

sova

15 июня 2020 г. в 18:24

S_k=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] – формула суммы k– первых членов геометрической прогрессии

Находим n–ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}-3^{k}}{12^{k}}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}}{12^{k}}-\sum_{1}^{n}\frac{3^{k}}{12^{k}}=\frac{\frac{4}{12}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}\cdot (1-(\frac{1}{4})^{n})}{1-\frac{1}{4}}[/m]


По определению сумма ряда
S=lim_{n → ∞} S_n=[m]\frac{\frac{4}{12}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/m]