Задача 52462 Сумма числового ряда равна...

laviosa

2020-06-15 15:23:09

Сумма числового ряда равна

sova

2020-06-15 18:24:48

S_(k)=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] - формула суммы k- первых членов геометрической прогрессии

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}-3^{k}}{12^{k}}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}}{12^{k}}-\sum_{1}^{n}\frac{3^{k}}{12^{k}}=\frac{\frac{4}{12}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}\cdot (1-(\frac{1}{4})^{n})}{1-\frac{1}{4}}[/m]


По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{\frac{4}{12}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/m]