Задача 33831 8) Найти наибольшее и наименьшее...

leronmarkevich

23 февраля 2019 г. в 13:19

8) Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x, y) в замкнутой области D.

sova

23 февраля 2019 г. в 14:06

★

z`<sub>x</sub>=6x<sup>2</sup>–y<sup>2</sup>+10x
z`_y=–2xy+2y


Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x²–y²+10x=0
{–2xy+2y=0

{6x²–y²+10x=0
{2y·(–x+1)=0 ⇒ y=0; x=1

При y=0
6x²–10x=0
x=0; x=5/3

При х=1
y²=16
y= ± 4

Ни одна из них не является внутренней точкой области D.

Исследуем функцию на границе:
приy=x
z=2x³–x³+6x²
z=x³+6x²

Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при 0 ≤ x ≤ 1


Если х=0; y=0
z(0;0)=0

z=x³+6x² возрастает на [0;1]

При x=1; y=1
z(1;1)=2–1+5+1=7

при y=0
z=2x³+5x² – как функция одной переменной на [0;1], эта функция принимает наибольшее значение при х=1,
наименьшее при х=0,

Если x=0; y=0
z=(0;0)=0
Если x=1;y=0
z=2·1–0+5·1+0 = 7
z(1;0)=7

При x=0
z=y² – как функция одной переменной 0 ≤ y ≤ 1
Эта функция принимает наименьшее при y=0,
наибольшее значение при y=1:

z(0;0)=0
z(0;1)=0–0+0+1=1

При x=1
z=2–y²+5 +y²
z=7
Эта функция принимает постоянное значение,
наибольшее значение при y=1:

z(1;0)=7
z(1;1)=7
О т в е т.
Наибольшее значение функции в области D равно 7; наименьшее равно 0.