Вертикальных асимптот нет
Функция является нечётной.
у(–х)=4*(-х)/((–x)^2+4)=-4х/(x^2+4)
y(–x)= - y(x)
lim_(x→ +∞)f(x)=0
lim_(x→–∞)f(x)=0
[b]y=0 - горизонтальная асимптота[/b]
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→∞)(f(x))/x=0
Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
4x/(x^2+1)=0
x=0
C осью Оу
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.
y`=((4х)`*(x^2+4)-(x^2+4)`*(4x))/(x^2+4)^2;
y`=(4x^2+16-2x*4x)/(x^2+4)^2
y`=(16-4x^2)/(x^2+1)
y`=0
16-4x^2=0
x= ±
Знак производной
_–__ (-2) ___+___ (2) __-____
x=-2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
x= 2 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
Функция убывает при x∈ (–∞;-2) и x∈ (2;+∞)
возрастает при x∈ (-2;2)
y``=((16-4x^2)`(x^2+4)^2-((x^2+4)^2)`*(16-4x^2))/(x^2+4)^4=
y``=-2x(12-x^2)/(x^2+4)^3
y``=0
x= ± 2√3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–2√3) и на (2√3;+ ∞ )
выпукла вниз на (–2√3;2√3)